Determine a derivada direcional da função
no ponto
e na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor direção
. Pede-se a derivada direcional de
no ponto
na direção de
.
Informações relevantes:
-
. - Ponto:
. - Vetor direção:
. - O que se quer: o valor escalar da derivada direcional de
em ao longo de .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A derivada direcional de em
na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
em
quando nos movemos infinitesimalmente na direção de
. Há duas formas equivalentes de definir/usar:
A derivada direcional de
- Definição por limite:
- Fórmula com o gradiente (método prático): primeiro se calcula o gradiente
(o vetor das derivadas parciais), depois
onde
deve ser unitário (ter norma
). Aqui
.
Vou aplicar o método do gradiente (mais rápido na prova), e depois confirmar com a definição por limite para ficar seguro.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(passo a passo e explicando):
- Para
: deriva-se tratando como constante. Como , a derivada de em relação a é e é constante em , logo
- Para
: deriva-se tratando como constante. A derivada de em relação a é e é constante em , logo
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
Primeiro escrevemos o gradiente geral
Primeiro escrevemos o gradiente geral
Agora em
:
Passo 5
Tratar o vetor direção
: precisamos do vetor unitário
na direção de
.
Calcule a norma de :
Calcule a norma de
Como
, o próprio
já é unitário, portanto
.
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando a fórmula do gradiente:
Fazendo o produto escalar passo a passo:
Assim obtemos
.
Passo 7
Verificação rápida pela definição por limite (confirmação):
Calcule . Temos
Calcule
Portanto
Tomando o limite
:
que coincide com o resultado anterior.