Determine a derivada direcional da função f(x, y)=x^{2}-y^{2} no ponto P(1,2) e na direção do vetor v=(0,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-y^{2}, o ponto P(1,2) e o vetor direção v=(0,1). Pede-se a derivada direcional de f no ponto P na direção de v.
Informações relevantes:
  • f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
  • Ponto: P=(1,2).
  • Vetor direção: v=(0,1).
  • O que se quer: o valor escalar da derivada direcional de f em P ao longo de v.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f em P quando nos movemos infinitesimalmente na direção de \mathbf{u}. Há duas formas equivalentes de definir/usar:
  1. Definição por limite:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{t\to0}\frac{f(P+t\mathbf{u})-f(P)}{t}.
  1. Fórmula com o gradiente (método prático): primeiro se calcula o gradiente \nabla f (o vetor das derivadas parciais), depois
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \mathbf{u} deve ser unitário (ter norma 1). Aqui \nabla f(P)=(\partial f/\partial x(P),\\ \partial f/\partial y(P)).
Vou aplicar o método do gradiente (mais rápido na prova), e depois confirmar com a definição por limite para ficar seguro.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (passo a passo e explicando):
  • Para \partial f/\partial x: deriva-se f tratando y como constante. Como f(x,y)=x^{2}-y^{2}, a derivada de x^{2} em relação a x é 2x e -y^{2} é constante em x, logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.
  • Para \partial f/\partial y: deriva-se f tratando x como constante. A derivada de -y^{2} em relação a y é -2y e x^{2} é constante em y, logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2y.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(1,2):
Primeiro escrevemos o gradiente geral
\boxed{\nabla f(x,y) = \bigl(2x,\\\ -2y\bigr).}
Agora em P:
\nabla f(1,2) = \bigl(2\cdot1,\\\ -2\cdot2\bigr) = (2,\,-4).

Passo 5

Tratar o vetor direção v: precisamos do vetor unitário \mathbf{u} na direção de v.
Calcule a norma de v:
\|v\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}=1.
Como \|v\|=1, o próprio v já é unitário, portanto \mathbf{u}=v=(0,1).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando a fórmula do gradiente:
D_{v}f(P)=\nabla f(1,2)\cdot v = (2,\,-4)\cdot(0,1).
Fazendo o produto escalar passo a passo:
(2,\,-4)\cdot(0,1)=2\cdot0 + (-4)\cdot1 = 0 -4 = -4.
Assim obtemos D_{v}f(P)=-4.

Passo 7

Verificação rápida pela definição por limite (confirmação):
Calcule f(P+t v)=f(1,\,2+t). Temos
f(1,2+t)=1^{2}-(2+t)^{2}=1-(4+4t+t^{2})=-3-4t-t^{2}.
Portanto
\frac{f(P+t v)-f(P)}{t}=\frac{(-3-4t-t^{2})-(-3)}{t}=\frac{-4t-t^{2}}{t}=-4-t.
Tomando o limite t\to0:
\lim_{t\to0}(-4-t)=-4,
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

-4

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