Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto indicado.
f(x, y)=x^{2} y^{3}-4 y no ponto P(2,-1).

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o vetor gradiente da função no ponto indicado.”
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y.
  • O ponto é P(2,-1).
  • Pergunta a ser respondida: calcular o vetor gradiente \nabla f avaliado em P(2,-1).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calcular (explicação didática):
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), o vetor gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f tratando y como constante (ou seja, diferencia-se apenas em relação a x). De forma análoga, \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada tratando x como constante.
  • Exemplo simples para fixar a ideia: se g(x,y)=x^{2}y, então
\frac{\partial g}{\partial x}=2x y\quad\text{(pois tratamos \(y\) como constante)},
\frac{\partial g}{\partial y}=x^{2}\quad\text{(pois tratamos \(x\) como constante)}.
  • Vamos aplicar esse procedimento à função dada.

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a x.
A função é f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y. Tratando y como constante, derive em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(4y\big).
Aqui \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)=2x\,y^{3} (porque y^{3} é constante) e \frac{\partial}{\partial x}\big(4y\big)=0 (pois não depende de x). Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\,y^{3}.
Avaliar em P(2,-1): como y^{3}=(-1)^{3}=-1,
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1)=2\cdot 2\cdot(-1)=-4.

Passo 4

Calcular a derivada parcial em relação a y.
Novamente f(x,y)=x^{2}y^{3}-4y. Tratando x como constante, derive em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(4y\big).
Aqui \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2} (pois x^{2} é constante) e \frac{\partial}{\partial y}\big(4y\big)=4. Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-4.
Avaliar em P(2,-1): como x^{2}=4 e y^{2}=(-1)^{2}=1,
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1)=3\cdot 4\cdot 1-4=12-4=8.

Passo 5

Juntar os componentes para formar o vetor gradiente no ponto P(2,-1).
Pelos passos anteriores:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1)=-4,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(2,-1)=8.
Portanto
\nabla f(2,-1)=(-4,\\\ 8).
Interpretação rápida e amigável: esse vetor aponta na direção de maior crescimento de f a partir de P e seu comprimento indica a taxa máxima de aumento instantâneo.

Resposta

\nabla f(2,-1)=(-4,\,8)

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