Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto indicado.
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o vetor gradiente da função no ponto indicado.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto é
. - Pergunta a ser respondida: calcular o vetor gradiente
avaliado em .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calcular (explicação didática):
- Para uma função de duas variáveis
, o vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e a :
- A derivada parcial
é a derivada de tratando como constante (ou seja, diferencia-se apenas em relação a ). De forma análoga, é a derivada tratando como constante. - Exemplo simples para fixar a ideia: se
, então
- Vamos aplicar esse procedimento à função dada.
Passo 3
Calcular a derivada parcial em relação a
.
A função é . Tratando
como constante, derive em relação a
:
A função é
Aqui
(porque
é constante) e
(pois não depende de
). Logo
Avaliar em
: como
,
Passo 4
Calcular a derivada parcial em relação a
.
Novamente . Tratando
como constante, derive em relação a
:
Novamente
Aqui
(pois
é constante) e
. Portanto
Avaliar em
: como
e
,
Passo 5
Juntar os componentes para formar o vetor gradiente no ponto
.
Pelos passos anteriores:
Pelos passos anteriores:
Portanto
Interpretação rápida e amigável: esse vetor aponta na direção de maior crescimento de
a partir de
e seu comprimento indica a taxa máxima de aumento instantâneo.