A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é:
; onde x e Y estão em metros e t em segundos. A corda possui
de comprimento e
, determine:
A máxima velocidade transversal de uma partícula da corda.
A máxima velocidade transversal de uma partícula da corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma onda transversal que se propaga em uma corda. A gente precisa encontrar a máxima velocidade transversal de uma partícula dessa corda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas, como amplitude e frequência angular. Vamos precisar derivar a função da onda em relação ao tempo para achar essa velocidade máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função da onda que foi dada:
Aqui, $ Y(x, t) $ é o deslocamento transversal em função da posição $ x $ e do tempo $ t $. A amplitude $ A $ da onda é 1,5 metros, o número de onda $ k = 11,2 , m^{-1} $ e a frequência angular $ \omega = 486,2 , rad/s $.
Passo 3
Para encontrar a velocidade transversal de uma partícula da corda, precisamos derivar $ Y(x, t) $ em relação ao tempo $ t $. A derivada de $ Y $ em relação ao tempo nos dá a velocidade $ v(x, t) $:
Usando a regra da cadeia, a derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $:
Simplificando:
Passo 4
A velocidade máxima ocorre quando o cosseno é igual a 1 (ou -1, mas a velocidade máxima em módulo será a mesma). Então, a velocidade máxima $ v_{máx} $ é:
Passo 5
Agora é só multiplicar os valores:
Resposta
A máxima velocidade transversal de uma partícula da corda é 729,3 metros por segundo.