A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é:
Y(x, t)=1 , 5 operatorname s e n (1 1 , 2 x-4 8 6, 2 t); onde x e Y estão em metros e t em segundos. A corda possui 125,0 cm de comprimento e 2,0 g, determine:
A tração na corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve como uma onda se move numa corda. O enunciado fala sobre uma onda transversal dada por:
Y(x, t) = 1,5 cdot sin(11,2,x - 486,2,t)
Onde:
  • x e Y estão em metros,
  • t está em segundos.
Além disso, a corda tem:
  • Comprimento: 125,0 cm (que é 1,25 metros),
  • Massa: 2,0 g (que é 0,002 kg).
A gente precisa descobrir a tração na corda, ou seja, a força que está esticando a corda para que a onda possa se propagar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas em cordas e como a tensão está relacionada com a velocidade da onda e a densidade linear da corda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a velocidade da onda. Na equação da onda Y(x, t) = A sin(kx - omega t), os termos nos dizem que:
  • k é o número de onda,
  • omega é a frequência angular.
Comparando com a nossa equação:
k = 11,2 , m^-1, omega = 486,2 , s^-1
A velocidade da onda v pode ser encontrada usando a relação:
v = omegak
Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando a velocidade:
v = 486,211,2 approx 43,39 , m/s
Então, a velocidade da onda é aproximadamente 43,39 metros por segundo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade linear ( mu) da corda. A densidade linear é a massa por unidade de comprimento:
mu = mL
Onde:
  • m = 0,002 , kg,
  • L = 1,25 , m.

Passo 5

Calculando a densidade linear:
mu = 0,0021,25 = 0,0016 , kg/m
Então, a densidade linear da corda é 0,0016 kg por metro.

Passo 6

Com a velocidade da onda v e a densidade linear mu, podemos encontrar a tração T na corda usando a fórmula:
T = mu cdot v^2
Vamos substituir os valores que encontramos.

Passo 7

Calculando a tração:
T = 0,0016 cdot (43,39)^2
Primeiro, calculamos v^2:
(43,39)^2 approx 1880,47 , m^2/s^2
Então:
T = 0,0016 cdot 1880,47 approx 3,008 , N

Resposta

A tração na corda é aproximadamente 3,01 newtons.

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