Um corpo, em MHS, desloca-se entre as posições -50 cm e +50 cm (amplitude) de sua trajetória. Neste percurso, o tempo é de 15 segundos para ir de uma extremidade a outra extremidade. Considerando que, no instante inicial, o móvel estava na posição de +30 cm , com sentido do movimento para valores positivos de x , determine:
A fase inicial
do MHS.
A fase inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS)! A gente tem um corpo que oscila entre -50 cm e +50 cm, com amplitude de 50 cm. O tempo para ir de uma extremidade a outra é de 15 segundos. No instante inicial, o corpo está na posição +30 cm, se movendo na direção dos valores positivos de $ x $. Nosso objetivo é encontrar a fase inicial $ \varphi_0 $ desse movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula básica do Movimento Harmônico Simples:
Onde:
- $ x(t) $ é a posição no tempo $ t $.
- $ A $ é a amplitude do movimento.
- $ \omega $ é a frequência angular.
- $ \varphi_0 $ é a fase inicial que queremos encontrar.
Passo 3
Sabemos que a amplitude $ A $ é de 50 cm. O tempo para ir de uma extremidade a outra é de 15 segundos, o que corresponde a metade do período completo ($ T $). Portanto, o período total $ T $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a frequência angular $ \omega $. A frequência angular está relacionada ao período pela fórmula:
Substituindo o valor de $ T $:
Passo 5
No instante inicial ($ t = 0 $), a posição $ x(0) $ é de +30 cm. Vamos substituir esses valores na equação do MHS:
Para encontrar $ \varphi_0 $, isolamos o cosseno:
Passo 6
Agora, calculamos o arco cosseno de 0,6 para encontrar $ \varphi_0 $:
Passo 7
Mas atenção! Como o corpo está se movendo na direção dos valores positivos de $ x $ no instante inicial, precisamos considerar o sinal da velocidade. A velocidade no MHS é dada por:
No instante $ t = 0 $:
Como a velocidade é positiva (movendo para +x):
Isso significa que $ \varphi_0 $ deve ser negativo, pois o seno de um ângulo negativo é negativo.
Então, a fase inicial correta é:
Resposta
A fase inicial $ \varphi_0 $ do Movimento Harmônico Simples é aproximadamente
radianos.