A equação
é dita exata se puder ser escrita na forma:
onde
pode ser determinada em função de
e
.
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Determine a solução da seguinte equação diferencial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
Determine a solução da seguinte equação diferencial
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equação diferencial que precisa resolver. A equação dada é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem para resolver isso. Precisamos encontrar uma função $ y $ que satisfaça essa equação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Note que $ e^{x} $ é um fator comum nos dois termos. Podemos dividir toda a equação por $ e^{x} $ para simplificar:
Agora a equação está mais simples:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando a equação característica associada. Para $ y’’ + y’ = 0 $, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Então, as soluções são:
Passo 5
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: