A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine a solução da seguinte equação diferencial
e^x y^prime prime+e^x y^prime=0
Escolha uma opção:
y=C1 e^-x+C2
y=C1 ln x+C2
y=C1 e^x+C2 e^-2 x
Nenhuma das demais alternativas
y=C1 x+C2x
y=C1-C2x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equação diferencial que precisa resolver. A equação dada é:
e^x y^prime prime + e^x y^prime = 0
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem para resolver isso. Precisamos encontrar uma função $ y $ que satisfaça essa equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Note que $ e^{x} $ é um fator comum nos dois termos. Podemos dividir toda a equação por $ e^{x} $ para simplificar:
e^x
Agora a equação está mais simples:
e^x

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando a equação característica associada. Para $ y’’ + y’ = 0 $, a equação característica é:
y'' + y' = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
r^2 + r = 0 Rightarrow r(r + 1) = 0
Então, as soluções são:
r = 0 ou r = -1

Passo 5

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^0x + C2 e^-1x = C1 + C2 e^-x

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = C1 e^-x + C2

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