Resolva as integrais:
integral x ln (1+3 x) d x

Passo 1

A questão pede para encontrar a primitiva da função xln(1+3x). O conteúdo principal aqui é integração por partes, e depois precisaremos resolver uma integral de fração racional usando divisão de polinômios.

Passo 2

Vamos aplicar integração por partes em integral xln(1+3x),dx. Escolhemos:
u = ln(1+3x), dv = x,dx
Então:
du = 31+3x,dx, v = x^22
Pela fórmula de partes:
integral xln(1+3x),dx = x^22ln(1+3x) - integral x^22cdot31+3x,dx

Passo 3

Precisamos computar integral x^21+3x,dx. Fazemos divisão de polinômios:
x^21+3x = 13x - 19 + 19cdot11+3x
Assim:
integral x^21+3x,dx = integral l(13x - 19 + 19(1+3x)r)dx = x^26 - x9 + 127ln(1+3x)

Passo 4

Voltando à expressão por partes, temos:
integral xln(1+3x),dx = x^22ln(1+3x) - 32l(x^26 - x9 + 127ln(1+3x)r) + C
Distribuindo tfrac32:
= x^22ln(1+3x) - x^24 + x6 - 118ln(1+3x) + C

Passo 5

Pronto! Essa é a antiderivada de xln(1+3x).

Resposta

x^22ln(1+3x) - x^24 + x6 - 118ln(1+3x) + C

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