Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos
(10 pontos lim x infty x cdot sen(pix)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ vai para o infinito da expressão $ x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) $. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo de limites e entender como a função seno se comporta quando seu argumento é muito pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com $ \frac{\pi}{x} $ quando $ x $ cresce sem limites, ou seja, quando $ x $ tende para o infinito. Como $ x $ está no denominador, $ \frac{\pi}{x} $ vai se aproximar de zero. Então, estamos olhando para $ \sin $ de um número que está ficando cada vez menor, próximo de zero.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante do seno para ângulos pequenos: quando $ \theta $ é perto de zero, $ \sin(\theta) $ é aproximadamente igual a $ \theta $. Em termos matemáticos, isso significa que:
theta
No nosso caso, $ \theta = \frac{\pi}{x} $, então:
sin(theta)

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
x cdot sin(pix) approx x cdot pix
Os $ x $ no numerador e denominador se cancelam, ficando:
x

Passo 5

Como fizemos essa aproximação válida quando $ x $ tende para o infinito, podemos concluir que o limite da expressão original também será $ \pi $.

Resposta

limx to infty x cdot sin(pix) = pi

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