Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos
pontos
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ vai para o infinito da expressão $ x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) $. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo de limites e entender como a função seno se comporta quando seu argumento é muito pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com $ \frac{\pi}{x} $ quando $ x $ cresce sem limites, ou seja, quando $ x $ tende para o infinito. Como $ x $ está no denominador, $ \frac{\pi}{x} $ vai se aproximar de zero. Então, estamos olhando para $ \sin $ de um número que está ficando cada vez menor, próximo de zero.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante do seno para ângulos pequenos: quando $ \theta $ é perto de zero, $ \sin(\theta) $ é aproximadamente igual a $ \theta $. Em termos matemáticos, isso significa que:
No nosso caso, $ \theta = \frac{\pi}{x} $, então:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Os $ x $ no numerador e denominador se cancelam, ficando:
Passo 5
Como fizemos essa aproximação válida quando $ x $ tende para o infinito, podemos concluir que o limite da expressão original também será $ \pi $.