A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que
P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas:
x^2 y^prime prime+2 x y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação x^2y'' + 2xy' = 0 é exata, usando a condição de exatidão para ODEs de segunda ordem, que envolve as funções P(x),Q(x),R(x) e a condição P''(x)+Q'(x)+R(x)=0.

Passo 2

Identificamos as funções em P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0. Aqui temos
P(x)=x^2, Q(x)=2x, R(x)=0

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
P''(x)=d^2dx^2(x^2)=2,
Q'(x)=ddx(2x)=2,
R(x)=0
Somando:
P''(x)+Q'(x)+R(x)=2+2+0=4neq0

Passo 4

Como a soma P''+Q'+R não é zero, concluímos que a equação não satisfaz a condição de exatidão.

Resposta

A equação não é exata.

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