Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x+2 y+5 z=-2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(-1,1,-\frac{11}{5}\right)+t(-15,0,9)+s(0,-10,4)
(B) \left(-1,1,-\frac{1}{5}\right)+t(-16,0,10)+s(0,17,-8)
(C) \left(1,-1,-\frac{3}{5}\right)+t(-14,0,8)+s(0,18,-9)
(D) \left(1,-1,-\frac{3}{5}\right)+t(-15,0,9)+s(0,-10,4)
(E) \left(-1,1,-\frac{11}{5}\right)+t(-16,0,10)+s(0,17,-8)
(F) \left(-1,1,-\frac{1}{5}\right)+t(-14,0,8)+s(0,18,-9)

Passo 1

O enunciado pede escolher, entre as alternativas (A) a (F), uma equação paramétrica do plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;3x+2y+5z=-2\}, onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros.
Informações dadas (retiradas do enunciado / de cada alternativa):
  • A alternativa (A) tem ponto \left(-1,1,-\dfrac{11}{5}\right) e vetores diretora (-15,0,9) e (0,-10,4).
  • A alternativa (B) tem ponto \left(-1,1,-\dfrac{1}{5}\right) e vetores diretora (-16,0,10) e (0,17,-8).
  • A alternativa (C) tem ponto \left(1,-1,-\dfrac{3}{5}\right) e vetores diretora (-14,0,8) e (0,18,-9).
  • A alternativa (D) tem ponto \left(1,-1,-\dfrac{3}{5}\right) e vetores diretora (-15,0,9) e (0,-10,4).
  • A alternativa (E) tem ponto \left(-1,1,-\dfrac{11}{5}\right) e vetores diretora (-16,0,10) e (0,17,-8).
  • A alternativa (F) tem ponto \left(-1,1,-\dfrac{1}{5}\right) e vetores diretora (-14,0,8) e (0,18,-9).
Dado o plano, o vetor normal (extraído do coeficiente das variáveis) é \mathbf{n}=(3,2,5).

Passo 2

Conceito rápido e útil (passo-a-passo didático): uma equação paramétrica do plano costuma ter a forma
\mathbf{r}(s,t)=\mathbf{p}+s\mathbf{v}+t\mathbf{w},
onde \mathbf{p} é um ponto do plano e \mathbf{v},\mathbf{w} são vetores diretores que pertencem ao próprio plano. Para isso acontecer precisam obedecer duas coisas:
  1. O ponto \mathbf{p}=(x_0,y_0,z_0) deve satisfazer a equação do plano, ou seja substituir nas coordenadas deve dar a mesma constante. Formalmente:
3x_0+2y_0+5z_0 \stackrel{?}{=} -2.
  1. Cada vetor diretor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) deve ser ortogonal ao vetor normal \mathbf{n}=(3,2,5). A ortogonalidade é verificada pelo produto escalar (dot product):
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3v_1+2v_2+5v_3.
Se esse resultado for 0, então \mathbf{v} está no plano. O mesmo vale para \mathbf{w}.
Vou aplicar esses dois testes (ponto no plano; vetores diretores ortogonais a \mathbf{n}) nas alternativas para decidir qual é correta.

Passo 3

Testando se os pontos das alternativas pertencem ao plano. Faço a substituição 3x+2y+5z para cada ponto:
  • Alternativa (A): ponto \left(-1,1,-\dfrac{11}{5}\right).
3(-1)+2(1)+5\left(-\dfrac{11}{5}\right) = -3+2-11 = -12 \neq -2.
Logo (A) falha no teste do ponto; não é ponto do plano.
  • Alternativa (B): ponto \left(-1,1,-\dfrac{1}{5}\right).
3(-1)+2(1)+5\left(-\dfrac{1}{5}\right) = -3+2-1 = -2.
Portanto o ponto de (B) pertence ao plano.
  • Alternativa (C): ponto \left(1,-1,-\dfrac{3}{5}\right).
3(1)+2(-1)+5\left(-\dfrac{3}{5}\right) = 3-2-3 = -2.
Portanto o ponto de (C) pertence ao plano.
  • Alternativa (D): ponto \left(1,-1,-\dfrac{3}{5}\right).
    Mesmo ponto que em (C), já calculado:
3(1)+2(-1)+5\left(-\dfrac{3}{5}\right) = -2,
logo o ponto de (D) pertence ao plano.
  • Alternativa (E): ponto \left(-1,1,-\dfrac{11}{5}\right).
    Mesmo que em (A), já deu:
3(-1)+2(1)+5\left(-\dfrac{11}{5}\right) = -12 \neq -2,
logo o ponto de (E) não pertence ao plano.
  • Alternativa (F): ponto \left(-1,1,-\dfrac{1}{5}\right).
    Mesmo que em (B), já deu:
3(-1)+2(1)+5\left(-\dfrac{1}{5}\right) = -2,
logo o ponto de (F) pertence ao plano.
Resumo parcial: as opções que passam no teste do ponto são (B), (C), (D) e (F). As opções (A) e (E) já são descartadas.

Passo 4

Agora verifico a ortogonalidade dos vetores diretores dessas candidatas com o vetor normal \mathbf{n}=(3,2,5). Vou calcular \mathbf{n}\cdot\mathbf{v} para cada vetor diretor listado.
Alternativa (B): vetores diretores \mathbf{v}=(-16,0,10) e \mathbf{w}=(0,17,-8).
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3(-16)+2(0)+5(10) = -48+0+50 = 2 \neq 0.
Como \mathbf{v} não é ortogonal a \mathbf{n}, (B) falha — esse vetor não está no plano.
Alternativa (C): vetores diretores \mathbf{v}=(-14,0,8) e \mathbf{w}=(0,18,-9).
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3(-14)+2(0)+5(8) = -42+0+40 = -2 \neq 0.
Logo (C) falha.
Alternativa (F): vetores diretores \mathbf{v}=(-14,0,8) e \mathbf{w}=(0,18,-9) — os mesmos de (C).
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = -2 \neq 0,
portanto (F) também falha.
Alternativa (D): vetores diretores \mathbf{v}=(-15,0,9) e \mathbf{w}=(0,-10,4).
Calculo para \mathbf{v}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3(-15)+2(0)+5(9) = -45+0+45 = 0.
Calculo para \mathbf{w}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=3(0)+2(-10)+5(4) = 0-20+20 = 0.
Ambos os vetores são ortogonais a \mathbf{n}, portanto ambos pertencem ao plano.

Passo 5

Verifiquei que em (D) o ponto pertence ao plano e os dois vetores diretores são ortogonais ao normal — então são vetores do plano. Falta um pequeno detalhe prático: confirmar que os vetores diretores não são múltiplos entre si (se fossem múltiplos não gerariam um plano, apenas uma reta). Os vetores em (D) são (-15,0,9) e (0,-10,4); claramente não há escalar \lambda tal que (-15,0,9)=\lambda(0,-10,4) (porque a primeira componente seria -15=\lambda\cdot 0, impossível). Logo são linearmente independentes e geram o plano desejado.
Portanto a alternativa (D) é a única que satisfaz todos os requisitos.

Resposta

(D)

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