Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado pede escolher, entre as alternativas (A) a (F), uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros.
Informações dadas (retiradas do enunciado / de cada alternativa):
Informações dadas (retiradas do enunciado / de cada alternativa):
- A alternativa (A) tem ponto
e vetores diretora e . - A alternativa (B) tem ponto
e vetores diretora e . - A alternativa (C) tem ponto
e vetores diretora e . - A alternativa (D) tem ponto
e vetores diretora e . - A alternativa (E) tem ponto
e vetores diretora e . - A alternativa (F) tem ponto
e vetores diretora e .
Dado o plano, o vetor normal (extraído do coeficiente das variáveis) é
.
Passo 2
Conceito rápido e útil (passo-a-passo didático): uma equação paramétrica do plano costuma ter a forma
onde
é um ponto do plano e
são vetores diretores que pertencem ao próprio plano. Para isso acontecer precisam obedecer duas coisas:
- O ponto
deve satisfazer a equação do plano, ou seja substituir nas coordenadas deve dar a mesma constante. Formalmente:
- Cada vetor diretor
deve ser ortogonal ao vetor normal . A ortogonalidade é verificada pelo produto escalar (dot product):
Se esse resultado for
, então
está no plano. O mesmo vale para
.
Vou aplicar esses dois testes (ponto no plano; vetores diretores ortogonais a
) nas alternativas para decidir qual é correta.
Passo 3
Testando se os pontos das alternativas pertencem ao plano. Faço a substituição
para cada ponto:
- Alternativa (A): ponto
.
Logo (A) falha no teste do ponto; não é ponto do plano.
- Alternativa (B): ponto
.
Portanto o ponto de (B) pertence ao plano.
- Alternativa (C): ponto
.
Portanto o ponto de (C) pertence ao plano.
- Alternativa (D): ponto
.
Mesmo ponto que em (C), já calculado:
logo o ponto de (D) pertence ao plano.
- Alternativa (E): ponto
.
Mesmo que em (A), já deu:
logo o ponto de (E) não pertence ao plano.
- Alternativa (F): ponto
.
Mesmo que em (B), já deu:
logo o ponto de (F) pertence ao plano.
Resumo parcial: as opções que passam no teste do ponto são (B), (C), (D) e (F). As opções (A) e (E) já são descartadas.
Passo 4
Agora verifico a ortogonalidade dos vetores diretores dessas candidatas com o vetor normal
. Vou calcular
para cada vetor diretor listado.
Alternativa (B): vetores diretores
e
.
Como
não é ortogonal a
, (B) falha — esse vetor não está no plano.
Alternativa (C): vetores diretores
e
.
Logo (C) falha.
Alternativa (F): vetores diretores
e
— os mesmos de (C).
portanto (F) também falha.
Alternativa (D): vetores diretores
e
.
Calculo para :
Calculo para
Calculo para
:
Ambos os vetores são ortogonais a
, portanto ambos pertencem ao plano.
Passo 5
Verifiquei que em (D) o ponto pertence ao plano e os dois vetores diretores são ortogonais ao normal — então são vetores do plano. Falta um pequeno detalhe prático: confirmar que os vetores diretores não são múltiplos entre si (se fossem múltiplos não gerariam um plano, apenas uma reta). Os vetores em (D) são
e
; claramente não há escalar
tal que
(porque a primeira componente seria
, impossível). Logo são linearmente independentes e geram o plano desejado.
Portanto a alternativa (D) é a única que satisfaz todos os requisitos.
Resposta
(D)