Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se A é LD, então S é LD.
II. Se A, B e C são todos LIs, então S é LI.
III. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de três vetores distintos em \mathbb{R}^{3} e define os subconjuntos
A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\},\qquad B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\},\qquad C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
Pede-se analisar a veracidade das afirmativas:
I. Se A é LD, então S é LD.
II. Se A,B e C são todos LIs, então S é LI.
III. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.
O objetivo final é escolher a alternativa correta entre as dadas (A)–(H).

Passo 2

Vamos lembrar claramente as definições (devagar, como num bom papo de estudo).
  • Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear não trivial (isto é, com coeficientes nem todos zero) que dá o vetor nulo. Em notação: um conjunto \{\vec{w}_i\} é LD se existem escalares nem todos zero tais que
\sum_i \alpha_i \vec{w}_i = \vec{0}.
  • Um conjunto é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero):
\sum_i \alpha_i \vec{w}_i = \vec{0}\quad\Rightarrow\quad \alpha_i = 0\\ \text{para todo }i.
Observação útil para pares de vetores em \mathbb{R}^3: um par \{\vec{u},\vec{w}\} é LD se e somente se um é múltiplo escalar do outro (isto é, estão na mesma reta passando pela origem). Se não são múltiplos, o par é LI.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se A é LD, então S é LD.”
  • Suponha que A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} seja LD. Pela definição, existem escalares \alpha,\beta, não ambos zero, tais que
\alpha \vec{v}_{1}+\beta \vec{v}_{2}=\vec{0}.
  • Agora olhe para o conjunto S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}. A mesma combinação acima dá uma combinação linear de elementos de S que é não trivial (basta tomar o coeficiente de \vec{v}_{3} igual a zero). Ou seja,
\alpha \vec{v}_{1}+\beta \vec{v}_{2}+0\cdot\vec{v}_{3}=\vec{0},
com (\alpha,\beta,0) não todo zero. Isso mostra que S é LD.
  • Conclusão: a afirmativa I é verdadeira. Intuição: se duas vetores já são dependentes, acrescentar qualquer outro vetor não elimina a dependência existente.

Passo 4

Preparação para II e III: saber o que pode dar errado.
  • Para três vetores, a condição de LI é que a única solução de
\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\gamma\vec{v}_3=\vec{0}
seja \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Um ponto importante: mesmo que todas as combinações de dois vetores sejam independentes (ou seja, cada par não seja múltiplo um do outro), ainda é possível que o terceiro vetor seja combinação linear dos dois primeiros com coeficientes ambos não nulos; nesse caso cada par pode ser LI mas os três, conjuntamente, serem LD. Vou demonstrar isso com um contraexemplo explícito.

Passo 5

Contraexemplo que mostra que II é falsa.
Considere em \mathbb{R}^{3} os vetores
\vec{v}_{1}=(1,0,0),\qquad \vec{v}_{2}=(0,1,0),\qquad \vec{v}_{3}=(1,1,0).
Verificações passo a passo:
  • Mostrar que A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI: se a\vec{v}_1+b\vec{v}_2=\vec{0} então pelas componentes
(a, b, 0)=(0,0,0)\quad\Rightarrow\quad a=0,\\ b=0.
Logo A é LI.
  • Mostrar que B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_3\} é LI: se c\vec{v}_1+d\vec{v}_3=\vec{0}, pelas componentes
(c+d, d, 0)=(0,0,0)\quad\Rightarrow\quad d=0,\\ c=0.
Logo B é LI.
  • Mostrar que C=\{\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI: se e\vec{v}_2+f\vec{v}_3=\vec{0}, pelas componentes
(f, e+f, 0)=(0,0,0)\quad\Rightarrow\quad f=0,\\ e=0.
Logo C é LI.
  • Porém, os três vetores são LD, porque existe uma combinação não trivial:
\vec{v}_1+\vec{v}_2-\vec{v}_3=\vec{0}.
Portanto \alpha=\;1,\\ \beta=1,\\ \gamma=-1 fornece uma relação não trivial entre os três. Isso mostra que é possível ter todos os pares LI e ainda assim o conjunto de três ser LD.
  • Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 6

Análise da afirmativa III: “Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são colineares, então S é LI.”
  • Primeiro, esclarecer o que significa “colineares” no contexto de vetores: três vetores são colineares se todos estão na mesma reta através da origem, isto é, todos são múltiplos escalares de um mesmo vetor. A negação “não são colineares” significa apenas que eles não pertencem todos a uma mesma reta; podem, no entanto, pertencer a um mesmo plano (qualquer três vetores em \mathbb{R}^3 sempre ficam em algum plano se forem linearmente dependentes).
  • O contraexemplo do passo anterior serve também aqui: os vetores
\vec{v}_{1}=(1,0,0),\quad \vec{v}_{2}=(0,1,0),\quad \vec{v}_{3}=(1,1,0)
não são colineares (não estão todos numa mesma reta — por exemplo \vec{v}_1 e \vec{v}_2 já não são múltiplos um do outro), mas ainda assim são LD porque \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2. Assim, “não colineares” não garante independência linear dos três.
  • Conclusão: a afirmativa III é falsa.

Passo 7

Resumo final das três afirmativas:
  • I: verdadeira.
  • II: falsa (há contraexemplo).
  • III: falsa (há contraexemplo).
Portanto a única alternativa correta (apenas I verdadeira) é a alternativa (D).

Resposta

(D)

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