Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LD, então
é LD.
II. Se
e
são todos LIs, então
é LI.
III. Se
não são colineares, então
é LI.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
de três vetores distintos em
e define os subconjuntos
Pede-se analisar a veracidade das afirmativas:
I. Se é LD, então
é LD.
II. Se e
são todos LIs, então
é LI.
III. Se não são colineares, então
é LI.
O objetivo final é escolher a alternativa correta entre as dadas (A)–(H).
I. Se
II. Se
III. Se
O objetivo final é escolher a alternativa correta entre as dadas (A)–(H).
Passo 2
Vamos lembrar claramente as definições (devagar, como num bom papo de estudo).
- Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear não trivial (isto é, com coeficientes nem todos zero) que dá o vetor nulo. Em notação: um conjunto
é LD se existem escalares nem todos zero tais que
- Um conjunto é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero):
Observação útil para pares de vetores em
: um par
é LD se e somente se um é múltiplo escalar do outro (isto é, estão na mesma reta passando pela origem). Se não são múltiplos, o par é LI.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
é LD, então
é LD.”
- Suponha que
seja LD. Pela definição, existem escalares , não ambos zero, tais que
- Agora olhe para o conjunto
. A mesma combinação acima dá uma combinação linear de elementos de que é não trivial (basta tomar o coeficiente de igual a zero). Ou seja,
com
não todo zero. Isso mostra que
é LD.
- Conclusão: a afirmativa I é verdadeira. Intuição: se duas vetores já são dependentes, acrescentar qualquer outro vetor não elimina a dependência existente.
Passo 4
Preparação para II e III: saber o que pode dar errado.
- Para três vetores, a condição de LI é que a única solução de
seja
.
- Um ponto importante: mesmo que todas as combinações de dois vetores sejam independentes (ou seja, cada par não seja múltiplo um do outro), ainda é possível que o terceiro vetor seja combinação linear dos dois primeiros com coeficientes ambos não nulos; nesse caso cada par pode ser LI mas os três, conjuntamente, serem LD. Vou demonstrar isso com um contraexemplo explícito.
Passo 5
Contraexemplo que mostra que II é falsa.
Considere em
os vetores
Verificações passo a passo:
- Mostrar que
é LI: se então pelas componentes
Logo
é LI.
- Mostrar que
é LI: se , pelas componentes
Logo
é LI.
- Mostrar que
é LI: se , pelas componentes
Logo
é LI.
- Porém, os três vetores são LD, porque existe uma combinação não trivial:
Portanto
fornece uma relação não trivial entre os três. Isso mostra que é possível ter todos os pares LI e ainda assim o conjunto de três ser LD.
- Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 6
Análise da afirmativa III: “Se
não são colineares, então
é LI.”
- Primeiro, esclarecer o que significa “colineares” no contexto de vetores: três vetores são colineares se todos estão na mesma reta através da origem, isto é, todos são múltiplos escalares de um mesmo vetor. A negação “não são colineares” significa apenas que eles não pertencem todos a uma mesma reta; podem, no entanto, pertencer a um mesmo plano (qualquer três vetores em
sempre ficam em algum plano se forem linearmente dependentes). - O contraexemplo do passo anterior serve também aqui: os vetores
não são colineares (não estão todos numa mesma reta — por exemplo
e
já não são múltiplos um do outro), mas ainda assim são LD porque
. Assim, “não colineares” não garante independência linear dos três.
- Conclusão: a afirmativa III é falsa.
Passo 7
Resumo final das três afirmativas:
- I: verdadeira.
- II: falsa (há contraexemplo).
- III: falsa (há contraexemplo).
Portanto a única alternativa correta (apenas I verdadeira) é a alternativa (D).
Resposta
(D)