Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -1 & 13 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -1 & 13 & k \end{array}\right]
e pede: assinale o valor de k (entre as opções fornecidas) de forma que o sistema tenha solução.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • São 4 equações e 3 incógnitas (o que torna o sistema, a princípio, sobredeterminado).
  • A variável desconhecida no enunciado é apenas k, que aparece no termo independente da quarta equação.
  • As opções possíveis para k são -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para que o sistema tenha solução, o posto (rank) da matriz dos coeficientes deve ser igual ao posto da matriz aumentada. Na prática, isso significa: ao aplicar operações elementares por linhas (que preservam solução), não podemos acabar com uma linha do tipo
\left[\,0\\\ 0\\\ 0\mid c\,\right]\quad\text{com}\quad c\neq0,
porque isso corresponderia à equação impossível 0=c. Então vamos aplicar eliminação de Gauss nas linhas — passo a passo — até aparecer (ou não) uma linha contraditória; daí obtemos a condição sobre k.

Passo 3

Começo a eliminação usando R_1 como pivô na coluna 1. Faço as operações:
R_2 \leftarrow R_2 + R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Calculemos cada nova linha:
  • Para R_2: (-1)+1=0,\; 2+1=3,\; -3+2=-1,\; 0+1=1. Logo R_2 vira [0\\\ 3\\\ -1\mid 1].
  • Para R_3: 2-2\cdot1=0,\; -1-2\cdot1=-3,\; 1-2\cdot2=-3,\; 2-2\cdot1=0. Logo R_3 vira [0\\\ -3\\\ -3\mid 0].
  • Para R_4: 2-2\cdot1=0,\; -1-2\cdot1=-3,\; 13-2\cdot2=9,\; k-2\cdot1=k-2. Logo R_4 vira [0\\\ -3\\\ 9\mid k-2].
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & -1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -3 & 0 \\\\ 0 & -3 & 9 & k-2 \end{array}\right].

Passo 4

Agora uso R_2 (que tem pivô 3 na coluna 2) para eliminar as entradas abaixo na coluna 2. Faço:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + R_2.
Calculemos:
  • Para R_3: 0+0=0,\; -3+3=0,\; -3+(-1)=-4,\; 0+1=1. Então R_3 vira [0\\\ 0\\\ -4\mid 1].
  • Para R_4: 0+0=0,\; -3+3=0,\; 9+(-1)=8,\; (k-2)+1=k-1. Então R_4 vira [0\\\ 0\\\ 8\mid k-1].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 8 & k-1 \end{array}\right].

Passo 5

Agora uso R_3 (pivô -4 na coluna 3) para eliminar a entrada abaixo em R_4. Faço:
R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3,
pois 8 + 2\cdot(-4)=0. Calculemos o lado direito:
\text{novo termo independente em }R_4 = (k-1) + 2\cdot 1 = k+1.
Assim R_4 torna-se [0\\\ 0\\\ 0\mid k+1]. A matriz final de eliminação é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & k+1 \end{array}\right].

Passo 6

Interpretação final (consistência): a última linha corresponde à equação
0 = k+1.
Para que essa equação não seja contraditória, precisamos ter k+1=0, ou seja
k = -1.
Se k\neq -1 a última linha é 0 = (algo não nulo) e o sistema é inconsistente (sem solução). Portanto o sistema tem solução exatamente quando k=-1.
Observação adicional útil para a prova: quando k=-1 a linha final se torna 0=0, o posto da matriz dos coeficientes é 3 (porque há pivôs nas três colunas) e o posto da matriz aumentada também é 3; com 3 incógnitas isso implica existência de solução única. Mas o que interessava aqui era a condição de existência, que deu k=-1.

Resposta

-1 (F)

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