Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 2 & -3 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -1 & 13 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear pela matriz aumentada
e pede: assinale o valor de k (entre as opções fornecidas) de forma que o sistema tenha solução.
Informações importantes extraídas do enunciado:
São 4 equações e 3 incógnitas (o que torna o sistema, a princípio, sobredeterminado).
A variável desconhecida no enunciado é apenas k, que aparece no termo independente da quarta equação.
As opções possíveis para k são -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para que o sistema tenha solução, o posto (rank) da matriz dos coeficientes deve ser igual ao posto da matriz aumentada. Na prática, isso significa: ao aplicar operações elementares por linhas (que preservam solução), não podemos acabar com uma linha do tipo
porque isso corresponderia à equação impossível 0=c. Então vamos aplicar eliminação de Gauss nas linhas — passo a passo — até aparecer (ou não) uma linha contraditória; daí obtemos a condição sobre k.
Passo 3
Começo a eliminação usando R_1 como pivô na coluna 1. Faço as operações:
Interpretação final (consistência): a última linha corresponde à equação
0 = k+1.
Para que essa equação não seja contraditória, precisamos ter k+1=0, ou seja
k = -1.
Se k\neq -1 a última linha é 0 = (algo não nulo) e o sistema é inconsistente (sem solução). Portanto o sistema tem solução exatamente quando k=-1.
Observação adicional útil para a prova: quando k=-1 a linha final se torna 0=0, o posto da matriz dos coeficientes é 3 (porque há pivôs nas três colunas) e o posto da matriz aumentada também é 3; com 3 incógnitas isso implica existência de solução única. Mas o que interessava aqui era a condição de existência, que deu k=-1.