Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x-3 y+5 z=-2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
\left(1,-1,-\frac{8}{5}\right)+t(20,0,-12)+s(0,10,6)

Passo 1

O enunciado dá o plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 3x-3y+5z=-2\}
e apresenta a candidata à equação paramétrica com parâmetros s,t\in\mathbb{R}:
\left(1,-1,-\tfrac{8}{5}\right)+t(20,0,-12)+s(0,10,6).
O que precisamos verificar é se essa expressão realmente descreve exatamente o plano dado — isto é, mostrar que todo ponto gerado pela parametrização pertence ao plano e que a parametrização gera toda a reta bidimensional do plano.

Passo 2

Primeiro, um lembrete didático bem direto sobre parametrização de plano:
  • Uma equação paramétrica de um plano tem a forma
P(s,t)=P_0+t\,\mathbf{v}+s\,\mathbf{w},
onde P_0 é um ponto do plano e \mathbf{v},\mathbf{w} são dois vetores não colineares (linearmente independentes) contidos no plano.
  • Para um plano dado pela equação linear \,a x+b y+c z=d, o vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c).
  • Condições práticas para checar uma parametrização:
    1. Verificar que P_0 satisfaz a equação do plano (então P_0 está no plano).
    2. Verificar que \mathbf{v} e \mathbf{w} são perpendiculares ao normal \mathbf{n} (ou seja, \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=0); isso garante que \mathbf{v} e \mathbf{w} ficam no plano.
    3. Verificar que \mathbf{v} e \mathbf{w} são linearmente independentes (então geram toda a direção do plano).
Vou aplicar essas verificações passo a passo.

Passo 3

Identificar os elementos da parametrização:
P_0=\left(1,-1,-\tfrac{8}{5}\right),\qquad \mathbf{v}=(20,0,-12),\qquad \mathbf{w}=(0,10,6).
O vetor normal do plano dado pela equação \,3x-3y+5z=-2 é
\mathbf{n}=(3,-3,5).

Passo 4

Verificar que \mathbf{v} e \mathbf{w} são ortogonais a \mathbf{n} (ou seja, estão no plano) calculando os produtos internos:
Cálculo de \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3\cdot20+(-3)\cdot0+5\cdot(-12).
Agora as multiplicações:
3\cdot20=60,\qquad (-3)\cdot0=0,\qquad 5\cdot(-12)=-60.
Somando:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=60+0-60=0.
Cálculo de \mathbf{n}\cdot\mathbf{w}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=3\cdot0+(-3)\cdot10+5\cdot6.
Agora as multiplicações:
3\cdot0=0,\qquad (-3)\cdot10=-30,\qquad 5\cdot6=30.
Somando:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=0-30+30=0.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=0, ambos os vetores pertencem ao plano (são ortogonais ao normal).

Passo 5

Verificar que o ponto P_0 está no plano: substituir as coordenadas de P_0 na equação do plano.
Calcular 3x-3y+5z em P_0:
3\cdot1-3\cdot(-1)+5\cdot\left(-\tfrac{8}{5}\right).
Fazendo passo a passo:
3\cdot1=3,\qquad -3\cdot(-1)=+3,\qquad 5\cdot\left(-\tfrac{8}{5}\right)=-8.
Somando:
3+3-8=-2.
Isso coincide com o lado direito da equação do plano, logo P_0 satisfaz 3x-3y+5z=-2 e portanto P_0 pertence ao plano.

Passo 6

Verificar que \mathbf{v} e \mathbf{w} são linearmente independentes. Uma verificação simples olhando componentes:
Suponha \alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}=\mathbf{0}. Isso dá o sistema das componentes:
20\alpha+0\beta=0,\qquad 0\alpha+10\beta=0,\qquad -12\alpha+6\beta=0.
Da primeira equação vem \alpha=0. Da segunda vem \beta=0. Portanto \alpha=\beta=0 é a única solução, logo \mathbf{v} e \mathbf{w} são linearmente independentes.

Passo 7

Como P_0 está no plano e \mathbf{v},\mathbf{w} são dois vetores independentes contidos no plano, a parametrização
P(s,t)=\left(1,-1,-\tfrac{8}{5}\right)+t(20,0,-12)+s(0,10,6)
gera exatamente todo o plano. Para reforçar, podemos substituir as componentes paramétricas diretamente na equação do plano e ver que a identidade vale para quaisquer s,t:
Escrevendo as coordenadas paramétricas:
x=1+20t,\qquad y=-1+10s,\qquad z=-\tfrac{8}{5}-12t+6s.
Substituindo em 3x-3y+5z:
3(1+20t)-3(-1+10s)+5\Big(-\tfrac{8}{5}-12t+6s\Big).
Calcule termo a termo:
3+60t +3 -30s -8 -60t +30s.
Agrupando:
(3+3-8)+(60t-60t)+(-30s+30s) = -2 + 0 + 0 = -2.
Portanto para quaisquer s,t obtemos 3x-3y+5z=-2, o que confirma que todos os pontos da parametrização estão no plano. Como já vimos a dimensão está correta (dois parâmetros independentes), a parametrização cobre todo o plano.

Resposta

Sim. A parametrização dada representa exatamente o plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 3x-3y+5z=-2\}.

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