Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
Passo 1
O enunciado dá o plano
e apresenta a candidata à equação paramétrica com parâmetros
:
O que precisamos verificar é se essa expressão realmente descreve exatamente o plano dado — isto é, mostrar que todo ponto gerado pela parametrização pertence ao plano e que a parametrização gera toda a reta bidimensional do plano.
Passo 2
Primeiro, um lembrete didático bem direto sobre parametrização de plano:
- Uma equação paramétrica de um plano tem a forma
onde
é um ponto do plano e
são dois vetores não colineares (linearmente independentes) contidos no plano.
- Para um plano dado pela equação linear
, o vetor normal ao plano é . - Condições práticas para checar uma parametrização:
- Verificar que
satisfaz a equação do plano (então está no plano). - Verificar que
e são perpendiculares ao normal (ou seja, e ); isso garante que e ficam no plano. - Verificar que
e são linearmente independentes (então geram toda a direção do plano).
- Verificar que
Vou aplicar essas verificações passo a passo.
Passo 3
Identificar os elementos da parametrização:
O vetor normal do plano dado pela equação
é
Passo 4
Verificar que
e
são ortogonais a
(ou seja, estão no plano) calculando os produtos internos:
Cálculo de
:
Agora as multiplicações:
Somando:
Cálculo de
:
Agora as multiplicações:
Somando:
Como
e
, ambos os vetores pertencem ao plano (são ortogonais ao normal).
Passo 5
Verificar que o ponto
está no plano: substituir as coordenadas de
na equação do plano.
Calcular
em
:
Fazendo passo a passo:
Somando:
Isso coincide com o lado direito da equação do plano, logo
satisfaz
e portanto
pertence ao plano.
Passo 6
Verificar que
e
são linearmente independentes. Uma verificação simples olhando componentes:
Suponha
. Isso dá o sistema das componentes:
Da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Portanto
é a única solução, logo
e
são linearmente independentes.
Passo 7
Como
está no plano e
são dois vetores independentes contidos no plano, a parametrização
gera exatamente todo o plano. Para reforçar, podemos substituir as componentes paramétricas diretamente na equação do plano e ver que a identidade vale para quaisquer
:
Escrevendo as coordenadas paramétricas:
Substituindo em
:
Calcule termo a termo:
Agrupando:
Portanto para quaisquer
obtemos
, o que confirma que todos os pontos da parametrização estão no plano. Como já vimos a dimensão está correta (dois parâmetros independentes), a parametrização cobre todo o plano.
Resposta
Sim. A parametrização dada representa exatamente o plano
.