Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se S é base, então A é LI.
II. Se S é LD, então A pode ser LI.
III. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} com os vetores distintos, e os subconjuntos
A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\}, C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
As três afirmativas a verificar são:
I. Se S é base, então A é LI.
II. Se S é LD, então A pode ser LI.
III. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
A tarefa é dizer quais dessas afirmativas são verdadeiras.

Passo 2

Vamos lembrar definições importantes (com exemplos e explicações simples).
Definição de independência linear (LI) e dependência linear (LD):
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial. Em símbolos: um conjunto \{\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_k\} é LI se, sempre que
\alpha_1\vec{w}_1+\cdots+\alpha_k\vec{w}_k=\vec{0},
então \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
  • Caso contrário (exista combinação não trivial que dê \vec{0}), o conjunto é LD.
Definição de base:
  • Uma base de \mathbb{R}^3 é um conjunto de 3 vetores que é LI e gera \mathbb{R}^3. Em particular, se S é base então S tem exatamente 3 vetores LI.
Propriedade útil (que vamos usar no Passo 3): qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente. Vou explicar por que: suponha \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_m\} é LI e tome um subconjunto \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_r\} com r\le m. Se houver uma combinação
\beta_1\vec{u}_1+\cdots+\beta_r\vec{u}_r=\vec{0},
então completando com coeficientes zeros para os demais \vec{u}_{r+1},\dots,\vec{u}_m obtemos uma combinação linear dos m vetores que é nula; pela LI dos m vetores todos os coeficientes precisam ser zero, logo \beta_i=0 para i=1,\dots,r. Assim o subconjunto é LI.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Se S é base, então A é LI.”
Usando o que dissemos: se S é base então S é LI (pois base = conjunto LI que gera \mathbb{R}^3). Pela propriedade do Passo 2, qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI. Em particular o subconjunto A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI. Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Comentário prático: imaginar uma base de \mathbb{R}^3 como três vetores “independentes” — pegar dois deles sempre dá dois vetores independentes (a menos que fossem repetidos, mas o enunciado diz que são distintos).

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Se S é LD, então A pode ser LI.”
Aqui a palavra-chave é “pode ser”: a afirmação não diz que A é necessariamente LI, apenas que é possível que A seja LI mesmo quando S é LD. Vamos dar um exemplo concreto para mostrar que isso é possível.
Exemplo simples em \mathbb{R}^3:
\vec{v}_1=(1,0,0),\qquad \vec{v}_2=(0,1,0),\qquad \vec{v}_3=(1,1,0).
Observe que \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2. Logo existe combinação não trivial que dá zero:
1\cdot\vec{v}_1+1\cdot\vec{v}_2-1\cdot\vec{v}_3=\vec{0},
portanto S é LD. Porém A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI, porque se
\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2=\vec{0}
então olhando coordenadas vem \alpha=0 e \beta=0. Assim A é LI embora S seja LD. Isso prova que é possível ( "pode ser").
Também é bom notar que S LD não força A LD: depende de como ocorreu a dependência (por exemplo se \vec{v}_2 fosse múltiplo de \vec{v}_1, aí A seria LD). A afirmativa só pede possibilidade, portanto II é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.”
Primeiro esclarecer o que significa “coplanares” no contexto de vetores em \mathbb{R}^3: os três vetores estão contidos em uma mesma superfície plana (um plano que passa pela origem, na linguagem de subespaços), ou seja, todos eles pertencem a um subespaço de dimensão no máximo 2.
Fato linear-algébrico essencial: em um subespaço de dimensão d não é possível ter mais de d vetores LI. Como um plano tem dimensão 2, qualquer conjunto com 3 vetores contidos nesse plano será necessariamente LD. Em outras palavras, três vetores coplanares em \mathbb{R}^3 sempre são linearmente dependentes; não há como os três serem LI.
Portanto a afirmativa “então S pode ser LI” é falsa: se são coplanares, S nunca pode ser LI. Um exemplo já visto: os vetores do Passo 4 são coplanares (ficam todos no plano z=0) e S é LD.
Conclusão: III é falsa.

Passo 6

Juntando as conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Logo a opção correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras”.

Resposta

(E) Só I e II são verdadeiras.

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