Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é base, então
é LI.
II. Se
é LD, então
pode ser LI.
III. Se
são coplanares, então
pode ser LI.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com os vetores distintos, e os subconjuntos
,
,
.
As três afirmativas a verificar são:
I. Se é base, então
é LI.
II. Se é LD, então
pode ser LI.
III. Se são coplanares, então
pode ser LI.
A tarefa é dizer quais dessas afirmativas são verdadeiras.
As três afirmativas a verificar são:
I. Se
II. Se
III. Se
A tarefa é dizer quais dessas afirmativas são verdadeiras.
Passo 2
Vamos lembrar definições importantes (com exemplos e explicações simples).
Definição de independência linear (LI) e dependência linear (LD):
- Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial. Em símbolos: um conjunto
é LI se, sempre que
então
.
- Caso contrário (exista combinação não trivial que dê
), o conjunto é LD.
Definição de base:
- Uma base de
é um conjunto de vetores que é LI e gera . Em particular, se é base então tem exatamente vetores LI.
Propriedade útil (que vamos usar no Passo 3): qualquer subconjunto de um conjunto linearmente independente também é linearmente independente. Vou explicar por que: suponha
é LI e tome um subconjunto
com
. Se houver uma combinação
então completando com coeficientes zeros para os demais
obtemos uma combinação linear dos
vetores que é nula; pela LI dos
vetores todos os coeficientes precisam ser zero, logo
para
. Assim o subconjunto é LI.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Se
é base, então
é LI.”
Usando o que dissemos: se
é base então
é LI (pois base = conjunto LI que gera
). Pela propriedade do Passo 2, qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI. Em particular o subconjunto
é LI. Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Comentário prático: imaginar uma base de
como três vetores “independentes” — pegar dois deles sempre dá dois vetores independentes (a menos que fossem repetidos, mas o enunciado diz que são distintos).
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “Se
é LD, então
pode ser LI.”
Aqui a palavra-chave é “pode ser”: a afirmação não diz que
é necessariamente LI, apenas que é possível que
seja LI mesmo quando
é LD. Vamos dar um exemplo concreto para mostrar que isso é possível.
Exemplo simples em
:
Observe que
. Logo existe combinação não trivial que dá zero:
portanto
é LD. Porém
é LI, porque se
então olhando coordenadas vem
e
. Assim
é LI embora
seja LD. Isso prova que é possível (
).
Também é bom notar que
LD não força
LD: depende de como ocorreu a dependência (por exemplo se
fosse múltiplo de
, aí
seria LD). A afirmativa só pede possibilidade, portanto II é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “Se
são coplanares, então
pode ser LI.”
Primeiro esclarecer o que significa “coplanares” no contexto de vetores em
: os três vetores estão contidos em uma mesma superfície plana (um plano que passa pela origem, na linguagem de subespaços), ou seja, todos eles pertencem a um subespaço de dimensão no máximo
.
Fato linear-algébrico essencial: em um subespaço de dimensão
não é possível ter mais de
vetores LI. Como um plano tem dimensão
, qualquer conjunto com
vetores contidos nesse plano será necessariamente LD. Em outras palavras, três vetores coplanares em
sempre são linearmente dependentes; não há como os três serem LI.
Portanto a afirmativa “então
pode ser LI” é falsa: se são coplanares,
nunca pode ser LI. Um exemplo já visto: os vetores do Passo 4 são coplanares (ficam todos no plano
) e
é LD.
Conclusão: III é falsa.
Passo 6
Juntando as conclusões:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Logo a opção correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras”.
Resposta
(E) Só I e II são verdadeiras.