Q15: Seja p(x)=3-3 x+27 x^{2} e \beta=\left\{1+2 x+2 x^{2}, \quad 1+5 x-4 x^{2}, \quad 1+x+5 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 4
(B) -1
(C) 1
(D) -4
(E) -2
(F) 2
(G) 3
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado o polinômio p(x)=3-3x+27x^{2}.
A base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2 é\beta=\{\,1+2x+2x^{2},\;1+5x-4x^{2},\;1+x+5x^{2}\,\}.
Denotando [p]_{\beta}=(a,b,c) as coordenadas de p na base \beta, isto significa quep(x)=a(1+2x+2x^{2})+b(1+5x-4x^{2})+c(1+x+5x^{2}).
O enunciado pede especificamente o valor de c (uma das coordenadas).
Passo 2
Entendendo a estratégia (sem entrar em fórmulas complexas): toda combinação linear dos vetores da base gera um polinômio cujos coeficientes de 1, x e x^{2} são somas ponderadas dos coeficientes correspondentes das base. Como a decomposição na base é única, basta igualar coeficientes de 1, x, x^{2} em ambos os lados para obter um sistema linear para a,b,c.
Passo 3
Escrevendo a identidade pedida e extraindo coeficientes. Começando por expandir a combinação linear:
Bretoquinho final: verificação rápida (opcional) — podia substituir a=3-b-c=3-(-2)-3=2 e checar que os coeficientes batem, mas como só foi pedido c, já temos o valor procurado.