Q15: Seja p(x)=3-3 x+27 x^{2} e
\beta=\left\{1+2 x+2 x^{2}, \quad 1+5 x-4 x^{2}, \quad 1+x+5 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 4
(B) -1
(C) 1
(D) -4
(E) -2
(F) 2
(G) 3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o polinômio p(x)=3-3x+27x^{2}.
  • A base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2 é \beta=\{\,1+2x+2x^{2},\;1+5x-4x^{2},\;1+x+5x^{2}\,\}.
  • Denotando [p]_{\beta}=(a,b,c) as coordenadas de p na base \beta, isto significa que p(x)=a(1+2x+2x^{2})+b(1+5x-4x^{2})+c(1+x+5x^{2}).
  • O enunciado pede especificamente o valor de c (uma das coordenadas).

Passo 2

Entendendo a estratégia (sem entrar em fórmulas complexas): toda combinação linear dos vetores da base gera um polinômio cujos coeficientes de 1, x e x^{2} são somas ponderadas dos coeficientes correspondentes das base. Como a decomposição na base é única, basta igualar coeficientes de 1, x, x^{2} em ambos os lados para obter um sistema linear para a,b,c.

Passo 3

Escrevendo a identidade pedida e extraindo coeficientes. Começando por expandir a combinação linear:
a(1+2x+2x^{2})+b(1+5x-4x^{2})+c(1+x+5x^{2})= (a+b+c) \;+\; (2a+5b+c)\,x \;+\; (2a-4b+5c)\,x^{2}.
Essa soma deve ser igual a p(x)=3-3x+27x^{2}. Portanto, igualando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} a+b+c=3,\\[4pt] 2a+5b+c=-3,\\[4pt] 2a-4b+5c=27. \end{cases}]

Passo 4

Isolar uma variável para reduzir o sistema. Da primeira equação:
a=3-b-c.

Passo 5

Substituir a=3-b-c nas outras duas equações para obter um sistema em b e c.
Na segunda equação:
2(3-b-c)+5b+c=-3.
Desenvolvendo:
6-2b-2c+5b+c=-3 \qquad\Rightarrow\qquad 6+3b-c=-3.
Logo:
3b-c=-9. \tag{4}

Passo 6

Substituindo a=3-b-c na terceira equação:
2(3-b-c)-4b+5c=27.
Desenvolvendo:
6-2b-2c-4b+5c=27 \qquad\Rightarrow\qquad 6-6b+3c=27.
Logo:
-6b+3c=21 \quad\Rightarrow\quad -2b+c=7. \tag{5}

Passo 7

Resolver o sistema formado por (4) e (5):
\begin{cases} 3b-c=-9,\\[4pt] -2b+c=7. \end{cases}
Somando as duas equações cancela c:
(3b-c)+(-2b+c)= -9+7 \quad\Rightarrow\quad b=-2.]

Passo 8

Encontrado b=-2, voltar em (5) para achar c:
-2(-2)+c=7 \quad\Rightarrow\quad 4+c=7 \quad\Rightarrow\quad c=3.

Passo 9

Bretoquinho final: verificação rápida (opcional) — podia substituir a=3-b-c=3-(-2)-3=2 e checar que os coeficientes batem, mas como só foi pedido c, já temos o valor procurado.

Resposta

(G) 3

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