Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 7 x-5 y+3 z=-3\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) (-1,1,3)+t(-6,0,14)+s(0,-12,-20)
(B) (-1,1,4)+t(-5,0,13)+s(0,11,21)
(C) (-1,1,4)+t(-6,0,14)+s(0,-12,-20)
(D) (-1,1,3)+t(-9,0,17)+s(0,14,18)
(E) (1,-1,-5)+t(-5,0,13)+s(0,11,21)
(F) (1,-1,-5)+t(-9,0,17)+s(0,14,18)

Passo 1

O enunciado pede: escolher qual(is) das opções dadas representam uma equação paramétrica do plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \;|\; 7x-5y+3z=-3\}.
As opções fornecem, para cada uma, um ponto inicial e dois vetores diretores (parâmetros s,t\in\mathbb{R}). Vou listar as informações de cada opção (peguei esses dados do enunciado):
  • (A) ponto \,(-1,1,3)\,, vetores \,(-6,0,14)\, e \,(0,-12,-20)\,.
  • (B) ponto \,(-1,1,4)\,, vetores \,(-5,0,13)\, e \,(0,11,21)\,.
  • (C) ponto \,(-1,1,4)\,, vetores \,(-6,0,14)\, e \,(0,-12,-20)\,.
  • (D) ponto \,(-1,1,3)\,, vetores \,(-9,0,17)\, e \,(0,14,18)\,.
  • (E) ponto \,(1,-1,-5)\,, vetores \,(-5,0,13)\, e \,(0,11,21)\,.
  • (F) ponto \,(1,-1,-5)\,, vetores \,(-9,0,17)\, e \,(0,14,18)\,.
A pergunta é: qual(is) dessas opções de fato descreve(m) o plano dado?

Passo 2

O que é necessário para que uma das opções descreva o plano?
  • Uma equação paramétrica do plano tem a forma
\mathbf{r}(s,t)=\mathbf{r}_0 + s\mathbf{v} + t\mathbf{w},
onde \mathbf{r}_0 é um ponto do plano e \mathbf{v},\mathbf{w} são dois vetores diretores contidos no plano.
  • Do enunciado do plano extraímos o vetor normal ao plano:
\mathbf{n} = (7,-5,3),
porque a equação do plano é 7x-5y+3z = -3.
  • Critérios práticos para checar cada opção:
    1. O ponto \mathbf{r}_0 deve satisfazer a equação do plano: verificar 7x_0 - 5y_0 + 3z_0 = -3.
    2. Cada vetor diretor \mathbf{v} e \mathbf{w} deve ser ortogonal ao vetor normal \mathbf{n}; isto é, o produto escalar deve ser zero:
    \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0,\qquad \mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=0,pois vetores no plano são perpendiculares ao normal.
    3. Os vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} precisam ser linearmente independentes (não múltiplos um do outro) para gerar um plano (duas direções diferentes).
  • Se (1) e (2) ocorrerem e (3) for verdade, a opção descreve o mesmo plano.
Agora vou aplicar esses critérios a cada alternativa, mostrando passo a passo as contas.

Passo 3

Verificação da opção (A).
  • Ponto \mathbf{r}_0 = (-1,1,3). Calcular
7(-1)-5(1)+3(3) = -7 -5 +9 = -3,
portanto o ponto satisfaz a equação do plano.
  • Vetor \mathbf{v}=(-6,0,14). Produto escalar com \mathbf{n}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = 7(-6) + (-5)(0) + 3(14) = -42 + 0 + 42 = 0.
  • Vetor \mathbf{w}=(0,-12,-20). Produto escalar com \mathbf{n}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w} = 7(0) + (-5)(-12) + 3(-20) = 0 + 60 - 60 = 0.
  • Independência: \mathbf{v} tem componente x não nula e \mathbf{w} tem componente x=0, então não são múltiplos um do outro → linearmente independentes.
    Conclusão: (A) satisfaz todos os critérios, logo representa o plano.

Passo 4

Verificação da opção (B).
  • Ponto \mathbf{r}_0 = (-1,1,4). Calcular
7(-1)-5(1)+3(4) = -7 -5 +12 = 0 \neq -3.
O ponto não pertence ao plano, então a opção (B) não pode representar o plano. (Não é necessário checar os vetores.)

Passo 5

Verificação da opção (C).
  • Ponto \mathbf{r}_0 = (-1,1,4) é o mesmo da (B), portanto também falha em satisfazer a equação do plano:
7(-1)-5(1)+3(4) = 0 \neq -3.
Conclusão: (C) é inválida.

Passo 6

Verificação da opção (D).
  • Ponto \mathbf{r}_0 = (-1,1,3) satisfaz a equação (mesmo cálculo que em (A)):
7(-1)-5(1)+3(3) = -3.
  • Vetor \mathbf{v}=(-9,0,17). Produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = 7(-9)+(-5)(0)+3(17) = -63 + 51 = -12 \neq 0.
Como \mathbf{v} não é ortogonal ao normal, \mathbf{v} não está no plano → (D) é inválida (não é equação do plano).

Passo 7

Verificação da opção (E).
  • Ponto \mathbf{r}_0 = (1,-1,-5). Calcular
7(1)-5(-1)+3(-5) = 7 + 5 -15 = -3,
então o ponto está no plano.
  • Vetor \mathbf{v}=(-5,0,13). Produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = 7(-5)+(-5)(0)+3(13) = -35 + 39 = 4 \neq 0.
  • Vetor \mathbf{w}=(0,11,21). Produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w} = 7(0)+(-5)(11)+3(21) = -55 + 63 = 8 \neq 0.
Nenhum dos vetores é ortogonal ao normal → vetores não estão no plano → (E) inválida.

Passo 8

Verificação da opção (F).
  • Ponto \mathbf{r}_0 = (1,-1,-5) está no plano (mesmo cálculo que em (E)):
7(1)-5(-1)+3(-5) = -3.
  • Vetor \mathbf{v}=(-9,0,17). Produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = 7(-9)+3(17) = -63 + 51 = -12 \neq 0.
  • Vetor \mathbf{w}=(0,14,18). Produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w} = 7(0)+(-5)(14)+3(18) = -70 + 54 = -16 \neq 0.
Os vetores não pertencem ao plano → (F) inválida.

Passo 9

Resumo das conclusões:
  • (A): ponto pertence ao plano, ambos vetores são ortogonais ao normal e são independentes → opção correta.
  • (B),(C): ponto inicial não pertence ao plano → incorretas.
  • (D),(E),(F): mesmo que o ponto pertença (algumas), pelo menos um dos vetores não é ortogonal ao normal → incorretas.

Resposta

(A)

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