Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado pede: escolher qual(is) das opções dadas representam uma equação paramétrica do plano
As opções fornecem, para cada uma, um ponto inicial e dois vetores diretores (parâmetros
). Vou listar as informações de cada opção (peguei esses dados do enunciado):
- (A) ponto
, vetores e . - (B) ponto
, vetores e . - (C) ponto
, vetores e . - (D) ponto
, vetores e . - (E) ponto
, vetores e . - (F) ponto
, vetores e .
A pergunta é: qual(is) dessas opções de fato descreve(m) o plano dado?
Passo 2
O que é necessário para que uma das opções descreva o plano?
- Uma equação paramétrica do plano tem a forma
onde
é um ponto do plano e
são dois vetores diretores contidos no plano.
- Do enunciado do plano extraímos o vetor normal ao plano:
porque a equação do plano é
.
- Critérios práticos para checar cada opção:
- O ponto
deve satisfazer a equação do plano: verificar . - Cada vetor diretor
e deve ser ortogonal ao vetor normal ; isto é, o produto escalar deve ser zero:
pois vetores no plano são perpendiculares ao normal.
3. Os vetorese precisam ser linearmente independentes (não múltiplos um do outro) para gerar um plano (duas direções diferentes). - O ponto
- Se (1) e (2) ocorrerem e (3) for verdade, a opção descreve o mesmo plano.
Agora vou aplicar esses critérios a cada alternativa, mostrando passo a passo as contas.
Passo 3
Verificação da opção (A).
- Ponto
. Calcular
portanto o ponto satisfaz a equação do plano.
- Vetor
. Produto escalar com :
- Vetor
. Produto escalar com :
- Independência:
tem componente não nula e tem componente , então não são múltiplos um do outro → linearmente independentes.
Conclusão: (A) satisfaz todos os critérios, logo representa o plano.
Passo 4
Verificação da opção (B).
- Ponto
. Calcular
O ponto não pertence ao plano, então a opção (B) não pode representar o plano. (Não é necessário checar os vetores.)
Passo 5
Verificação da opção (C).
- Ponto
é o mesmo da (B), portanto também falha em satisfazer a equação do plano:
Conclusão: (C) é inválida.
Passo 6
Verificação da opção (D).
- Ponto
satisfaz a equação (mesmo cálculo que em (A)):
- Vetor
. Produto escalar:
Como
não é ortogonal ao normal,
não está no plano → (D) é inválida (não é equação do plano).
Passo 7
Verificação da opção (E).
- Ponto
. Calcular
então o ponto está no plano.
- Vetor
. Produto escalar:
- Vetor
. Produto escalar:
Nenhum dos vetores é ortogonal ao normal → vetores não estão no plano → (E) inválida.
Passo 8
Verificação da opção (F).
- Ponto
está no plano (mesmo cálculo que em (E)):
- Vetor
. Produto escalar:
- Vetor
. Produto escalar:
Os vetores não pertencem ao plano → (F) inválida.
Passo 9
Resumo das conclusões:
- (A): ponto pertence ao plano, ambos vetores são ortogonais ao normal e são independentes → opção correta.
- (B),(C): ponto inicial não pertence ao plano → incorretas.
- (D),(E),(F): mesmo que o ponto pertença (algumas), pelo menos um dos vetores não é ortogonal ao normal → incorretas.
Resposta
(A)