Um automóvel percorreu um trecho de uma estrada com velocidade constante. Dividindo a distância percorrida pelo automóvel nesse trecho em três partes, x, ye z, em quilômetro, o tempo, em minuto, transcorrido nesses trechos foi 4,3 k e 2 k, respectivamente.
a. Considerando as incógnitas x, y e z, equacione esse problema por meio de um sistema linear homogêneo.
b. Discuta o sistema formado no item a em função do parâmetro real k, \operatorname{com} k \in \mathbb{R}_{+}^{*}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
As distâncias percorridas em um trecho foram x, y e z (em quilômetros).
Os tempos gastos nesses trechos, em minutos, foram 4, 3k e 2k, respectivamente, com k\in\mathbb{R}_+^*.
As perguntas são:
(a) Escrever um sistema linear homogêneo envolvendo as incógnitas x, y e z.
(b) Discutir esse sistema em função do parâmetro k>0.
Passo 2
Entender a relação física que gera o sistema. Como a velocidade do automóvel é constante, vale a fórmula
Um sistema homogêneo tem sempre a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para existir solução não trivial precisamos que A seja singular (determinante zero).]
Passo 5
Calcular o determinante de A para ver quando o sistema tem solução não trivial.
Logo \det(A)=0 para todo k. Portanto A é sempre singular e o sistema admite sempre soluções não triviais.]
Passo 6
Determinar o posto de A e a forma geral das soluções. Note que a terceira equação foi obtida das duas primeiras: se da segunda obtemos x=\dfrac{2}{k}z e substituímos na primeira,
que é exatamente a terceira equação. Assim as três equações não são independentes: há duas equações independentes e uma dependente. Portanto o posto de A é 2 e a dimensão do espaço de soluções é 3-2=1 (uma reta de soluções).
Passo 7
Encontrar a solução geral parametrizada. A forma mais direta vem da igualdade com v: existe um escalar v tal que
x=4v,\qquad y=3k v,\qquad z=2k v.
Assim o conjunto de soluções é
(x,y,z)=v(4,\,3k,\,2k),\qquad v\in\mathbb{R}.
Se quisermos só distâncias fisicamente admissíveis (não negativas), tomamos v\ge 0 (e para distâncias estritamente positivas v>0). Outra maneira de escrever a solução é escolher parâmetro t tal que
(x,y,z)=t(4,\,3k,\,2k),\quad t\in\mathbb{R}.
Passo 8
Interpretação em função de k\in\mathbb{R}_+^*:
Para todo k>0 o sistema é homogêneo singular (determinante zero) e de posto 2.
O espaço de soluções é une dimensão (reta de soluções) gerada pelo vetor (4,3k,2k).
A dependência de k aparece apenas na direção do gerador: a razão entre y e z é independente de v e depende de k por y:z=3k:2k=3:2 (repare que o fator k cancela nessa razão; as razões entre y e z não dependem de k). Já a razão entre x e y é x:y=4:3k, que depende de k.
Concretamente, as distâncias obedecem sempre à proporção
(b) Para todo k\in\mathbb{R}_+^* o sistema é singular (\det A=0), tem posto 2 e soluçãoes não-triviais formando uma reta: (x,y,z)=t(4,3k,2k), t\in\mathbb{R} (para distâncias positivas tomar t>0).]