Dê a equação da reta r^{\prime} paralela a r (isto é, com a mesma inclinação como r ) que passa pelo ponto P nos seguintes casos:
  • r: y=5 x+2 \quad, \quad P=(-1,5),
  • r: 4 x-3 y+6=0 \quad, \quad P=(3,5),
  • r: x=2 \quad, \quad P=(\pi, \pi).

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre, em cada caso, a reta r' que seja paralela à reta dada (logo, tenha a mesma inclinação) e passe pelo ponto P. Para isso usamos a forma ponto-inclinação: se a reta tem coeficiente angular m e deve passar por (x_0,y_0), então
y - y_0 = m\,(x - x_0).
No caso de reta vertical (coeficiente angular “infinito”), basta igualar x à abscissa do ponto.

Passo 2

—— Caso 1 ——
Temos
r: y = 5x + 2
logo o coeficiente angular é m = 5. O ponto dado é P = (-1,5). Aplicando ponto-inclinação:
y - 5 = 5\,(x - (-1)) = 5\,(x + 1).
Distribuindo e isolando y:
y - 5 = 5x + 5 \quad\Longrightarrow\quad y = 5x + 10.

Passo 3

—— Caso 2 ——
A reta dada é
4x - 3y + 6 = 0
que podemos reescrever como
-3y = -4x - 6 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{4}{3}x + 2,
logo m = \tfrac{4}{3}. O ponto é P=(3,5). Usando ponto-inclinação:
y - 5 = \tfrac{4}{3}\,(x - 3).
Multiplicando por 3 e rearranjando dá a forma geral:
3y - 15 = 4x - 12 \quad\Longrightarrow\quad 4x - 3y + 3 = 0.

Passo 4

—— Caso 3 ——
A reta r é
x = 2,
ou seja, uma reta vertical. Qualquer reta paralela a ela também é vertical, de equação x = \text{constante}. Para passar por P=(\pi,\pi) basta fixar
x = \pi.

Resposta

r'_1:\;y = 5x + 10 r'_2:\;4x - 3y + 3 = 0 r'_3:\;x = \pi

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