a) Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular
da equação. O processo, para isso, é o que segue:
- A substituição
transforma a equação de Ricatti em uma equação de Bernoulli com
.
- A equação de Bernoulli, por sua vez, pode então ser reduzida para uma equação linear pela substituição
.
Sendo assim:
I. Mostre que, de fato, a substituição
reduz a equação de Ricatti para uma equação de Bernoulli com
.
II. Mostre que a consecutiva substituição
, por sua vez, transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear da seguinte forma:
Sendo assim:
I. Mostre que, de fato, a substituição
II. Mostre que a consecutiva substituição
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas: primeiro que, se conhecemos uma solução particular
da equação de Riccati
, então a substituição
leva a uma equação de Bernoulli de grau 2; depois, que com
essa Bernoulli vira uma equação linear na forma
. Vamos usar teoria de equações de Riccati, Bernoulli e transformações em cadeia.
Passo 2
Começamos com
. Diferenciando, obtemos
Substituindo na Riccati original
vem
Passo 3
Como
é solução particular, ela satisfaz
Subtraindo essa relação da equação acima, cancelam os termos que envolvem apenas
, sobrando
Isso é exatamente a equação de Bernoulli com expoente
.
Passo 4
Agora fazemos a segunda transformação: definimos
. Calculamos
Substituindo
da Bernoulli:
Como
, isso vira
Passo 5
Pronto! A equação de Bernoulli foi reduzida a uma equação linear em
.
Resposta
A sequência de substituições leva a