a) Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular y1 da equação. O processo, para isso, é o que segue:
  • A substituição y=y1+u transforma a equação de Ricatti em uma equação de Bernoulli com n=2.
  • A equação de Bernoulli, por sua vez, pode então ser reduzida para uma equação linear pela substituição w=u^-1.
    Sendo assim:
    I. Mostre que, de fato, a substituição y=y1+u reduz a equação de Ricatti para uma equação de Bernoulli com n=2.
    II. Mostre que a consecutiva substituição w=u^-1, por sua vez, transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear da seguinte forma:
d wd x+(Q(x)+2 R(x) y1) w=-R(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas: primeiro que, se conhecemos uma solução particular y1(x) da equação de Riccati y'=Q(x)y+R(x)y^2+P(x), então a substituição y=y1+u leva a uma equação de Bernoulli de grau 2; depois, que com w=u^-1 essa Bernoulli vira uma equação linear na forma w'+(Q+2Ry1)w=-R. Vamos usar teoria de equações de Riccati, Bernoulli e transformações em cadeia.

Passo 2

Começamos com y=y1+u. Diferenciando, obtemos
dydx=dy1dx+dudx
Substituindo na Riccati original
dydx=Q,y+R,y^2+P
vem
dy1dx+dudx=Q,(y1+u)+R,(y1+u)^2+P

Passo 3

Como y1 é solução particular, ela satisfaz
dy1dx=Q,y1+R,y1^2+P
Subtraindo essa relação da equação acima, cancelam os termos que envolvem apenas y1, sobrando
dudx=Q,u+2R,y1,u+R,u^2
Isso é exatamente a equação de Bernoulli com expoente n=2.

Passo 4

Agora fazemos a segunda transformação: definimos w=u^-1. Calculamos
dwdx=-u^-2dudx
Substituindo du/dx da Bernoulli:
dwdx=-u^-2l(Q,u+2R,y1,u+R,u^2r) =-l(Q+2R,y1r)u^-1-R
Como u^-1=w, isso vira
dwdx+(Q+2R,y1),w=-R

Passo 5

Pronto! A equação de Bernoulli foi reduzida a uma equação linear em w.

Resposta

A sequência de substituições leva a
dwdx+(Q(x)+2R(x)y1(x)),w=-R(x)

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