Calcule a integral integral 1x^2-4 d x utilizando:
Substituição trigonométrica.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1x^2-4 ,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de função racional com denominador do tipo x^2-a^2 e vamos precisar lembrar da identidade sec^2theta -1=tan^2theta.

Passo 2

Vamos fazer a substituição x = 2sectheta. Assim, temos:
  • dx = 2secthetatantheta,dtheta
  • x^2-4 = 4sec^2theta -4 =4(sec^2theta -1)=4tan^2theta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral 1x^2-4,dx = integral 14tan^2theta,l(2secthetatanthetar),dtheta

Passo 4

Agora simplificamos o integrando:
14tan^2thetacdot2secthetatantheta = 2secthetatantheta4tan^2theta = sectheta2tantheta = tfrac12cdot1sintheta = tfrac12,csctheta

Passo 5

Logo a integral vira:
integral 1x^2-4,dx = 12integral csctheta,dtheta

Passo 6

Lembrando que integral csctheta,dtheta = -lnl|csctheta + cotthetar| + C, temos:
12integral csctheta,dtheta = -12lnl|csctheta + cotthetar| + C

Passo 7

Agora voltamos a variável x. Como x=2sectheta, montamos o triângulo:
  • hipotenusa = x
  • cateto adjacente = 2
  • cateto oposto = raizx^2-4
    Então:
csctheta = hipotenusaoposto=xraizx^2-4, cottheta=2raizx^2-4

Passo 8

Portanto:
csctheta+cottheta = x+2raizx^2-4, e a integral fica:
-tfrac12lnl|x+2raizx^2-4r| + C

Passo 9

Para simplificar, note que raizx^2-4=raiz(x-2)(x+2) e se faz a álgebra dos logaritmos resultando em:
14lnl|x-2x+2r| + C

Resposta

integral 1x^2-4,dx = 14lnl|x-2x+2r| + C.

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