Quando uma equação de Riccati tem coeficientes constantes, podemos calcular soluções particulares y1 através da resolução de uma equação polinomial e, em seguida, fazemos a mudança de variáveis y=y1+v transformando a equação de Riccati em uma equação de Bernoulli ou em uma equação linear de primeira ordem. Dê a equação geral de:
y^prime+4 y^2-9=0
3 pts.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolvê-la.
Enunciado Resumido: Temos uma equação diferencial de Riccati com coeficientes constantes:
y' + 4 y^2 - 9 = 0
Conteúdo da Matéria: Equações diferenciais de Riccati e métodos para resolver equações não lineares transformando-as em equações lineares ou de Bernoulli após encontrar uma solução particular.
O que vamos precisar: Encontrar uma solução particular $ y_{1} $, fazer a substituição $ y = y_{1} + v $, transformar a equação original em uma equação mais simples, resolver essa nova equação e, por fim, escrever a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma solução particular $ y_{1} $ para a equação dada. Para isso, assumimos que $ y $ é constante, ou seja, $ y’ = 0 $.
Substituindo na equação:
y1
Então, temos duas soluções particulares:
y
Escolhemos uma delas para prosseguir. Vamos usar $ y_{1} = \frac{3}{2} $.

Passo 3

Agora, fazemos a mudança de variável $ y = y_{1} + v $. Substituindo na equação original:
y = y1 + v
Como $ y_{1} $ é constante, $ y_{1}’ = 0 $. Então:
(y1 + v)' + 4 (y1 + v)^2 - 9 = 0
Sabemos que $ 4 y_{1}^{2} - 9 = 0 $, pela definição de $ y_{1} $. Então simplificamos:
y1

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar $ v’ $:
v'
Dividindo ambos os lados por $ v^{2} $:
v' = -8 y1 v - 4 v^2
Essa forma sugere uma equação de Bernoulli de primeira ordem, que pode ser resolvida pela substituição adequada.

Passo 5

Vamos fazer a substituição $ u = \frac{1}{v} $. Então, $ u’ = -\frac{v’}{v^{2}} $.
Reescrevendo a equação:
u = 1v
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 6

Vamos resolver a equação linear:
u' - 8 y1 u = 4
Primeiro, identificamos o fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Multiplicamos ambos os lados da equação por $ \mu(x) $:
mu(x) = e^-integral 8 y1 dx = e^-8 y1 x
O lado esquerdo agora é a derivada de $ u \cdot \mu(x) $:
mu(x)
Integrando ambos os lados:
e^-8 y1 x u' - 8 y1 e^-8 y1 x u = 4 e^-8 y1 x
Multiplicando ambos os lados por $ e^{8 y_{1} x} $:
u cdot mu(x)

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição $ u = \frac{1}{v} $, então:
u = 1v
Resolvendo para $ v $:
1v = -12 y1 + C e^8 y1 x
Podemos simplificar a constante $ C $ para $ K $, então:
v

Passo 8

Agora, lembrando que $ y = y_{1} + v $:
Podemos simplificar essa expressão, mas para deixar a resposta geral, mantemos na forma:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 32 - 31 - 3 K e^12 x
Onde $ K $ é a constante de integração.

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