Quando uma equação de Riccati tem coeficientes constantes, podemos calcular soluções particulares
através da resolução de uma equação polinomial e, em seguida, fazemos a mudança de variáveis
transformando a equação de Riccati em uma equação de Bernoulli ou em uma equação linear de primeira ordem. Dê a equação geral de:
3 pts.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolvê-la.
Enunciado Resumido: Temos uma equação diferencial de Riccati com coeficientes constantes:
Conteúdo da Matéria: Equações diferenciais de Riccati e métodos para resolver equações não lineares transformando-as em equações lineares ou de Bernoulli após encontrar uma solução particular.
O que vamos precisar: Encontrar uma solução particular $ y_{1} $, fazer a substituição $ y = y_{1} + v $, transformar a equação original em uma equação mais simples, resolver essa nova equação e, por fim, escrever a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma solução particular $ y_{1} $ para a equação dada. Para isso, assumimos que $ y $ é constante, ou seja, $ y’ = 0 $.
Substituindo na equação:
Então, temos duas soluções particulares:
Escolhemos uma delas para prosseguir. Vamos usar $ y_{1} = \frac{3}{2} $.
Passo 3
Agora, fazemos a mudança de variável $ y = y_{1} + v $. Substituindo na equação original:
Como $ y_{1} $ é constante, $ y_{1}’ = 0 $. Então:
Sabemos que $ 4 y_{1}^{2} - 9 = 0 $, pela definição de $ y_{1} $. Então simplificamos:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar $ v’ $:
Dividindo ambos os lados por $ v^{2} $:
Essa forma sugere uma equação de Bernoulli de primeira ordem, que pode ser resolvida pela substituição adequada.
Passo 5
Vamos fazer a substituição $ u = \frac{1}{v} $. Então, $ u’ = -\frac{v’}{v^{2}} $.
Reescrevendo a equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método do fator integrante.
Passo 6
Vamos resolver a equação linear:
Primeiro, identificamos o fator integrante $ \mu(x) $:
Multiplicamos ambos os lados da equação por $ \mu(x) $:
O lado esquerdo agora é a derivada de $ u \cdot \mu(x) $:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ e^{8 y_{1} x} $:
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição $ u = \frac{1}{v} $, então:
Resolvendo para $ v $:
Podemos simplificar a constante $ C $ para $ K $, então:
Passo 8
Agora, lembrando que $ y = y_{1} + v $:
Podemos simplificar essa expressão, mas para deixar a resposta geral, mantemos na forma:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ K $ é a constante de integração.