A relação entre alpha=12 R C e omega=1raizL C em determinado circuito RLC é chamada de taxa de amortecimento por engenheiros que trabalham com sistemas de controle, sendo designada por zeta (zeta).
Agora, considere um circuito RLC paralelo tendo uma indutância de 10 mH e uma capacitância de 100 mu F. Determine os valores do resistor que causariam respostas sobreamortecidas e subamortecidas, respectivamente.
R>6 e R<6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um circuito RLC paralelo com uma indutância de 10 mH e uma capacitância de 100,muF. Nosso objetivo é encontrar os valores do resistor R que fazem a resposta do circuito ser sobreamortecida (overdamped) ou subamortecida (underdamped). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre taxa de amortecimento ( zeta) e como ela se relaciona com os componentes do circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que nos foram dadas:
alpha = 12RC
omega = 1raizLC
Aqui, alpha é a taxa de amortecimento e omega é a frequência natural do circuito. A taxa de amortecimento zeta é definida como:
zeta = alphaomega

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor crítico do resistor Rc onde o sistema muda de sobreamortecido para subamortecido. Isso acontece quando zeta = 1. Então, vamos igualar zeta a 1 e resolver para R:
1 = alphaomega = 12RC1raizLC = raizLC2RC
Simplificando a equação para encontrar Rc:
raizLC = 2RCc implies Rc = raizLC2C
Isso também pode ser escrito como:
Rc = raizL/C2

Passo 4

Vamos agora substituir os valores dados no problema:
L = 10,mH = 10 times 10^-3,H
C = 100,muF = 100 times 10^-6,F
Calculando raizL/C:
raizLC = raiz10 times 10^-3100 times 10^-6 = raiz100 = 10
Agora, substituindo na fórmula de Rc:
Rc = 102 = 5,Omega

Passo 5

Com o valor crítico do resistor Rc = 5,Omega, podemos determinar os regimes de amortecimento:
  • Subamortecido (Underdamped): Quando R > Rc, ou seja, R > 5,Omega.
    Nesse caso, a taxa de amortecimento zeta < 1, o que significa que o circuito oscilará antes de estabilizar.
  • Sobreamortecido (Overdamped): Quando R < Rc, ou seja, R < 5,Omega.
    Aqui, a taxa de amortecimento zeta > 1, fazendo com que o circuito retorne ao equilíbrio sem oscilações.

Resposta

Os valores do resistor que causariam respostas subamortecidas são R > 5,Omega e sobreamortecidas são R < 5,Omega.

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