Calcule o fator de integração
tal que
seja exata.
2 pts.
2 pts.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular um fator de integração
que torne a equação diferencial dada exata. Exata aqui significa que podemos encontrar uma função cuja derivada nos dá a equação original. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores de integração. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação diferencial que temos. A equação dada é:
Podemos ver que:
- $ M(x, y) = \mu(y)(2y^2 + 2y) $
- $ N(x, y) = \mu(y)(3xy + 2x) $
Passo 3
Para que a equação seja exata, ela precisa satisfazer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Primeiro, diferenciamos $ M $ em relação a $ y $:
Aqui, usamos a regra do produto, onde diferenciamos
e
separadamente.
Passo 5
Agora, calculando
:
Diferenciando $ N $ em relação a $ x $:
Aqui, como
não depende de $ x $, ela age como uma constante na diferenciação.
Passo 6
Igualando as duas derivadas para a condição de exatidão:
Vamos simplificar essa equação para encontrar
.
Passo 7
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Simplificando a fração do lado direito:
Agora, temos uma equação diferenciável que podemos integrar.
Passo 10
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo resulta em
e o direito em
, então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 11
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos absorver $ e^{C} $ na constante, deixando:
Onde $ K $ é uma constante.
Resposta
Então, o fator de integração que torna a equação exata é: