Calcule o fator de integração mu(y) tal que
mu(y) cdot(2 y^2+2 y) cdot d x+mu(y) cdot(3 x y+2 x) d y=0
seja exata.
2 pts.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular um fator de integração mu(y) que torne a equação diferencial dada exata. Exata aqui significa que podemos encontrar uma função cuja derivada nos dá a equação original. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores de integração. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação diferencial que temos. A equação dada é:
mu(y) cdot(2 y^2+2 y) cdot dx + mu(y) cdot(3 x y + 2 x) cdot dy = 0
Podemos ver que:
  • $ M(x, y) = \mu(y)(2y^2 + 2y) $
  • $ N(x, y) = \mu(y)(3xy + 2x) $

Passo 3

Para que a equação seja exata, ela precisa satisfazer a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando partial Mpartial y:
Primeiro, diferenciamos $ M $ em relação a $ y $:
M
Aqui, usamos a regra do produto, onde diferenciamos y e partial Mpartial y = mu'(y)(2y^2 + 2y) + mu(y)(4y + 2) separadamente.

Passo 5

Agora, calculando partial Npartial x:
Diferenciando $ N $ em relação a $ x $:
N
Aqui, como x não depende de $ x $, ela age como uma constante na diferenciação.

Passo 6

Igualando as duas derivadas para a condição de exatidão:
mu'(y)(2y^2 + 2y) + mu(y)(4y + 2) = mu(y)(3y + 2)
Vamos simplificar essa equação para encontrar mu(y).

Passo 7

Subtraindo mu(y)(3y + 2) de ambos os lados:
mu'(y)(2y^2 + 2y) + mu(y)(4y + 2) - mu(y)(3y + 2) = 0
Simplificando:
mu'(y)(2y^2 + 2y) + mu(y)(y) = 0

Passo 8

Agora, isolamos mu'(y):
mu'(y)(2y^2 + 2y) = -mu(y)y
Dividindo ambos os lados por mu(y):
mu'(y)mu(y) = -y2y^2 + 2y

Passo 9

Simplificando a fração do lado direito:
mu'(y)mu(y) = -y2y(y + 1) = -12(y + 1)
Agora, temos uma equação diferenciável que podemos integrar.

Passo 10

Integrando ambos os lados:
integral mu'(y)mu(y) , dy = integral -12(y + 1) , dy
O lado esquerdo resulta em ln |mu(y)| e o direito em -12 ln |y + 1|, então:
ln |mu(y)| = -12 ln |y + 1| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 11

Exponenciando ambos os lados para resolver para mu(y):
mu(y) = e^-12 ln |y + 1| + C = e^C cdot (y + 1)^-12
Podemos absorver $ e^{C} $ na constante, deixando:
e^C
Onde $ K $ é uma constante.

Resposta

Então, o fator de integração que torna a equação exata é:
mu(y) = 1raizy + 1

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