A equação de Schrödinger tridimensional independente do tempo em coordenadas esféricas torna-se:
onde o operador
é dado por:
Considerando o potencial coulombiano,
e escrevendo a função de onda
como:
Mostrar que a equação radial se reduz a:
onde
e
são, respectivamente, o raio de Bohr e a energia de ionização do átomo de hidrogênio:
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Schrödinger tridimensional independente do tempo em coordenadas esféricas, que descreve o comportamento de uma partícula (como um elétron) sob a influência de um potencial específico. Neste caso, o potencial é o potencial coulombiano, que é típico para um elétron ao redor de um núcleo atômico.
O objetivo é mostrar que, ao assumir uma forma específica para a função de onda
, a equação de Schrödinger se reduz a uma equação radial mais simples. Para isso, vamos precisar entender:
- Equação de Schrödinger em coordenadas esféricas
- Separação de variáveis na função de onda
- Operador angular
- Potencial coulombiano
- Constantes físicas como o raio de Bohr (
) e a energia de ionização do hidrogênio ( )
Passo 2
Expressando a Função de Onda em Coordenadas Sféricas
A função de onda
descreve o estado quântico do elétron. Vamos expressá-la como um produto de duas funções:
Aqui,
-
é a parte radial da função de onda, que depende apenas da distância ao núcleo. -
são as funções esféricas harmônicas, que dependem dos ângulos e e representam a parte angular da função de onda.
Essa separação de variáveis é útil porque permite resolver a equação de Schrödinger de forma mais simples, tratando separadamente as partes radial e angular.
Passo 3
Substituindo a Função de Onda na Equação de Schrödinger
Vamos substituir
na equação de Schrödinger dada:
Ao fazer isso, nossa equação ficará em termos de
e
, permitindo separar as variáveis
,
, e
.
Passo 4
Aplicando o Operador Angular
na Função de Onda
Sabemos que o operador
atua apenas na parte angular da função de onda:
Isso significa que quando aplicamos
a
, obtemos:
Essa propriedade simplifica bastante a equação, pois agora podemos isolar a parte radial.
Passo 5
Substituindo o Potencial Coulombiano
O potencial coulombiano é dado por:
Onde:
-
é a constante de Coulomb, -
é o número atômico (para hidrogênio, ), -
é a carga do elétron.
Esse potencial descreve a interação entre o elétron e o núcleo atômico.
Passo 6
Rearranjando a Equação de Schrödinger
Substituindo
e
na equação de Schrödinger, temos:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo Ambos os Lados por
Como as funções esféricas harmônicas
não são zero, podemos dividir ambos os lados da equação por
:
Agora, temos uma equação que depende apenas de
, ou seja, a equação radial.
Passo 8
Multiplicando Toda a Equação por
para Simplificar
Vamos multiplicar cada termo por
para simplificar os coeficientes:
Simplificando cada termo:
- O segundo termo simplifica para
. - O terceiro termo simplifica para
. - O lado direito fica
.
Então, a equação fica:
Passo 9
Rearranjando os Termos para Obter a Equação Radial Desejada
Vamos reorganizar a equação para que todos os termos fiquem de um lado:
Agora, podemos escrever a derivada expandida:
Passo 10
Expressando em Termos das Constantes
e
Sabemos que:
Vamos reescrever os coeficientes na equação radial usando essas definições.
Primeiro, observamos que:
E:
Substituindo na equação radial:
Resposta
Portanto, a equação radial se reduz a:
Onde
é o raio de Bohr e
é a energia de ionização do átomo de hidrogênio.