A equação de Schrödinger tridimensional independente do tempo em coordenadas esféricas torna-se:
-hbar^22 m r^2[partialpartial r(r^2 partial psipartial r)-L^2 psihbar^2]+V(r) psi=E psi
onde o operador L^2 é dado por:
L^2=-hbar^2[cot theta partialpartial theta+partial^2partial theta^2+1sin ^2 theta partial^2partial phi^2]
Considerando o potencial coulombiano,
V(r)=-k Z e^2r
e escrevendo a função de onda psi como:
psi(r, theta, phi)=Rn l(r) Yl^m(theta, phi)
Mostrar que a equação radial se reduz a:
r^2 Rn l^prime prime+2 r Rn l^prime+2 Z r Rn la0+E r^2 Rn la0^2 EH=l(l+1) Rn l
onde a0 e EH são, respectivamente, o raio de Bohr e a energia de ionização do átomo de hidrogênio:
a0=hbar^2m k e^2=0.529178 times 10^-10 m approx 0.529 AA EH=m k^2 e^42 hbar^2=2.17987 times 10^-18 J=13.606 eV approx 13.6 eV

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Schrödinger tridimensional independente do tempo em coordenadas esféricas, que descreve o comportamento de uma partícula (como um elétron) sob a influência de um potencial específico. Neste caso, o potencial é o potencial coulombiano, que é típico para um elétron ao redor de um núcleo atômico.
O objetivo é mostrar que, ao assumir uma forma específica para a função de onda psi(r, theta, phi), a equação de Schrödinger se reduz a uma equação radial mais simples. Para isso, vamos precisar entender:
  • Equação de Schrödinger em coordenadas esféricas
  • Separação de variáveis na função de onda
  • Operador angular L^2
  • Potencial coulombiano
  • Constantes físicas como o raio de Bohr ( a0) e a energia de ionização do hidrogênio ( EH)

Passo 2

Expressando a Função de Onda em Coordenadas Sféricas
A função de onda psi(r, theta, phi) descreve o estado quântico do elétron. Vamos expressá-la como um produto de duas funções:
psi(r, theta, phi) = Rn l(r) Yl^m(theta, phi)
Aqui,
  • Rn l(r) é a parte radial da função de onda, que depende apenas da distância r ao núcleo.
  • Yl^m(theta, phi) são as funções esféricas harmônicas, que dependem dos ângulos theta e phi e representam a parte angular da função de onda.
Essa separação de variáveis é útil porque permite resolver a equação de Schrödinger de forma mais simples, tratando separadamente as partes radial e angular.

Passo 3

Substituindo a Função de Onda na Equação de Schrödinger
Vamos substituir psi(r, theta, phi) = Rn l(r) Yl^m(theta, phi) na equação de Schrödinger dada:
-hbar^22 m r^2[partialpartial r(r^2 partial psipartial r)-L^2 psihbar^2]+V(r) psi=E psi
Ao fazer isso, nossa equação ficará em termos de Rn l(r) e Yl^m(theta, phi), permitindo separar as variáveis r, theta, e phi.

Passo 4

Aplicando o Operador Angular L^2 na Função de Onda
Sabemos que o operador L^2 atua apenas na parte angular da função de onda:
L^2 Yl^m(theta, phi) = hbar^2 l(l + 1) Yl^m(theta, phi)
Isso significa que quando aplicamos L^2 a psi(r, theta, phi), obtemos:
L^2 psi = hbar^2 l(l + 1) psi
Essa propriedade simplifica bastante a equação, pois agora podemos isolar a parte radial.

Passo 5

Substituindo o Potencial Coulombiano
O potencial coulombiano é dado por:
V(r) = -k Z e^2r
Onde:
  • k é a constante de Coulomb,
  • Z é o número atômico (para hidrogênio, Z=1),
  • e é a carga do elétron.
Esse potencial descreve a interação entre o elétron e o núcleo atômico.

Passo 6

Rearranjando a Equação de Schrödinger
Substituindo psi e L^2 psi na equação de Schrödinger, temos:
-hbar^22 m r^2[partialpartial r(r^2 partial Rn l(r) Yl^mpartial r) - hbar^2 l(l + 1) Rn l(r) Yl^mhbar^2] - k Z e^2r Rn l(r) Yl^m = E Rn l(r) Yl^m
Simplificando:
-hbar^22 m r^2 partialpartial r(r^2 partial Rn lpartial r) Yl^m + hbar^2 l(l + 1)2 m r^2 Rn l Yl^m - k Z e^2r Rn l Yl^m = E Rn l Yl^m

Passo 7

Dividindo Ambos os Lados por Yl^m(theta, phi)
Como as funções esféricas harmônicas Yl^m não são zero, podemos dividir ambos os lados da equação por Yl^m:
-hbar^22 m r^2 partialpartial r(r^2 partial Rn lpartial r) + hbar^2 l(l + 1)2 m r^2 Rn l - k Z e^2r Rn l = E Rn l
Agora, temos uma equação que depende apenas de r, ou seja, a equação radial.

Passo 8

Multiplicando Toda a Equação por -2 m r^2 / hbar^2 para Simplificar
Vamos multiplicar cada termo por -2 m r^2 / hbar^2 para simplificar os coeficientes:
partialpartial r(r^2 partial Rn lpartial r) - 2 m r^2hbar^2 cdot hbar^2 l(l + 1)2 m r^2 Rn l + 2 m r^2hbar^2 cdot k Z e^2r Rn l = -2 m r^2hbar^2 E Rn l
Simplificando cada termo:
  • O segundo termo simplifica para -l(l + 1) Rn l.
  • O terceiro termo simplifica para 2 m k Z e^2hbar^2 r Rn l.
  • O lado direito fica -2 m E r^2hbar^2 Rn l.
Então, a equação fica:
partialpartial r(r^2 partial Rn lpartial r) - l(l + 1) Rn l + 2 m k Z e^2hbar^2 r Rn l = -2 m E r^2hbar^2 Rn l

Passo 9

Rearranjando os Termos para Obter a Equação Radial Desejada
Vamos reorganizar a equação para que todos os termos fiquem de um lado:
partialpartial r(r^2 partial Rn lpartial r) + 2 m k Z e^2hbar^2 r Rn l + 2 m E r^2hbar^2 Rn l = l(l + 1) Rn l
Agora, podemos escrever a derivada expandida:
r^2 partial^2 Rn lpartial r^2 + 2 r partial Rn lpartial r + 2 m k Z e^2hbar^2 r Rn l + 2 m E r^2hbar^2 Rn l = l(l + 1) Rn l

Passo 10

Expressando em Termos das Constantes a0 e EH
Sabemos que:
a0 = hbar^2m k e^2 e EH = m k^2 e^42 hbar^2
Vamos reescrever os coeficientes na equação radial usando essas definições.
Primeiro, observamos que:
2 m k Z e^2hbar^2 = 2 Za0
E:
2 m Ehbar^2 = EEH a0^2
Substituindo na equação radial:
r^2 Rn l'' + 2 r Rn l' + 2 Z ra0 Rn l + E r^2a0^2 EH Rn l = l(l + 1) Rn l

Resposta

Portanto, a equação radial se reduz a:
r^2 Rn l^prime prime + 2 r Rn l^prime + 2 Z r Rn la0 + E r^2 Rn la0^2 EH = l(l + 1) Rn l
Onde a0 é o raio de Bohr e EH é a energia de ionização do átomo de hidrogênio.

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