Uma equação teórica útil para calcular a relação entre pressão, velocidade e altitude em um escoamento permanente de um fluido considerado não viscoso e incompressível com transferência de calor e trabalho mecânico desprezíveis é a relação de Bernoulli, que recebeu

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - INSTITUTO TECNOLÓGICO
FACULDADE DE ENGENHARIA NAVAL
1^{\mathrm{a}} Lista Disciplina de Princípios de Fluxo - 2022
Data de entrega do Trabalho: Terca 06/09/2022

esse nome em homenagem a Daniel Bernoulli, que publicou um livro sobre hidrodinâmica em 1738:
po = p + \frac{1}{2}\rho\mp@subsup{V}{}{2}+\rho\textrm{gZ}
em que po}\mp@subsup{p}{}{}=\mathrm{ pressão de estagnação
    p = pressão no fluido em movimento
    V= velocidade
    \rho = massa específica
    Z = altitude
    g = aceleração da gravidade
(a) Mostre que a Equação satisfaz o princípio de homogeneidade dimensional, que afirma que todos os termos aditivos em uma equação física devem ter as mesmas dimensões.
(b) Mostre que resultam unidades consistentes, sem fatores de conversão adicionais, em unidades do SI.
(c) Repita o item (b) para unidades do BG.

Passo 1

O enunciado fornece a relação de Bernoulli (sem perdas) escrita como
p_0 = p + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g Z,
e pede: (a) mostrar que a equação satisfaz o princípio de homogeneidade dimensional; (b) mostrar que em unidades do SI todos os termos resultam em unidades consistentes (sem fatores de conversão); (c) repetir (b) para unidades do BG (British Gravitational).
Variáveis e seus significados fornecidos pelo enunciado: \,p_0 = pressão de estagnação, \,p = pressão no fluido em movimento, \rho = massa específica (densidade), V = velocidade, Z = altitude (altura), g = aceleração da gravidade.
Aqui vamos verificar dimensões e unidades de cada termo aditivo da equação.

Passo 2

Primeiro, explico o que é homogeneidade dimensional de forma bem direta: toda equação física que soma termos exige que cada termo somado tenha as mesmas dimensões fundamentais. Usamos as dimensões básicas \,M (massa), \,L (comprimento) e \,T (tempo). Se cada termo tem a mesma combinação de M,L,T (por exemplo M L^{-1} T^{-2}), então a equação é dimensionalmente homogênea. Vou achar as dimensões de cada variável passo a passo.

Passo 3

Dimensão da pressão \,p (e portanto de \,p_0): pressão é força por área. A força tem dimensão M L T^{-2} (porque F=ma) e área tem L^{2}. Logo
[p] = \frac{M L T^{-2}}{L^{2}} = M L^{-1} T^{-2}.
Portanto [p]=M L^{-1} T^{-2}.

Passo 4

Dimensão do termo dinâmico \,\frac{1}{2}\rho V^2. O fator \,\tfrac{1}{2} é adimensional, então ignoro-o na dimensionalidade. A densidade tem dimensão massa por volume:
[\rho] = M L^{-3}.
A velocidade tem dimensão
[V] = L T^{-1}.
Então
[\rho V^2] = (M L^{-3}) \cdot (L T^{-1})^2 = M L^{-3} \cdot L^{2} T^{-2} = M L^{-1} T^{-2}.
Concluímos que [\rho V^2] = M L^{-1} T^{-2}, mesma dimensão de p.

Passo 5

Dimensão do termo da energia potencial \,\rho g Z. Já temos [\rho]=M L^{-3}. A aceleração da gravidade tem dimensão
[g] = L T^{-2},
e a altitude tem [Z]=L. Logo
[\rho g Z] = (M L^{-3}) \cdot (L T^{-2}) \cdot (L) = M L^{-1} T^{-2}.
Assim [\rho g Z] = M L^{-1} T^{-2} também.

Passo 6

Comparando os resultados:
[p] = M L^{-1} T^{-2},\quad [\tfrac{1}{2}\rho V^2] = M L^{-1} T^{-2},\quad [\rho g Z] = M L^{-1} T^{-2}.
Todos os termos aditivos têm a mesma dimensão fundamental. Portanto a equação de Bernoulli é dimensionalmente homogênea — isto resolve o item (a).

Passo 7

Agora vamos traduzir essas dimensões em unidades do Sistema Internacional (SI) para mostrar que os termos têm unidades consistentes (item b). Unidades fundamentais do SI envolvidas aqui: massa em \,\text{kg}, comprimento em \,\text{m}, tempo em \,\text{s}. A unidade de pressão no SI é o pascal:
1\\ \text{Pa} = 1\\ \frac{\text{N}}{\text{m}^2},
e 1\\ \text{N} = 1\\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}. Então
1\\ \text{Pa} = \frac{1\\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}}{\text{m}^2} = 1\\ \text{kg}\,\text{m}^{-1}\text{s}^{-2}.
Isto corresponde exatamente à dimensão M L^{-1} T^{-2}.

Passo 8

Unidades do termo \frac{1}{2}\rho V^2 no SI: se \rho em \text{kg}\,\text{m}^{-3} e V em \text{m}\,\text{s}^{-1}, então
[\rho V^2] = \left(\text{kg}\,\text{m}^{-3}\right)\cdot\left(\text{m}\,\text{s}^{-1}\right)^2 = \text{kg}\,\text{m}^{-3}\cdot\text{m}^2\text{s}^{-2} = \text{kg}\,\text{m}^{-1}\text{s}^{-2},
que é exatamente \text{Pa}. Logo \tfrac{1}{2}\rho V^2 tem unidades de pressão no SI.

Passo 9

Unidades do termo \rho g Z no SI: se \rho em \text{kg}\,\text{m}^{-3}, g em \text{m}\,\text{s}^{-2} e Z em \text{m}, então
[\rho g Z] = \left(\text{kg}\,\text{m}^{-3}\right)\cdot\left(\text{m}\,\text{s}^{-2}\right)\cdot\left(\text{m}\right) = \text{kg}\,\text{m}^{-1}\text{s}^{-2} = \text{Pa}.
Portanto \rho g Z também tem unidades de pressão no SI.

Passo 10

Conclusão do item (b): em unidades do SI ( \text{kg},\\ \text{m},\\ \text{s}) cada termo de
p_0 = p + \tfrac{1}{2}\rho V^2 + \rho g Z
tem unidade \text{Pa} = \text{kg}\,\text{m}^{-1}\text{s}^{-2}. Não são necessários fatores de conversão adicionais.

Passo 11

Agora o item (c): unidades do BG (British Gravitational). Aqui é importante ser claro: no sistema imperial/gravitacional há duas formas comuns de tratar massa — usar \text{lbm} (pound-mass) ou usar a unidade de massa \text{slug}. Para obter consistência sem fatores de conversão extras, usamos a unidade de massa \text{slug} porque ela está definida de modo que 1\\ \text{slug}\cdot \text{ft}\,\text{s}^{-2} = 1\\ \text{lbf} (onde \text{lbf} = pound-force). A unidade de pressão correspondente é \text{lbf}\,\text{ft}^{-2}. Vou mostrar que, com \rho em \text{slug}\,\text{ft}^{-3}, V em \text{ft}\,\text{s}^{-1}, g em \text{ft}\,\text{s}^{-2} e Z em \text{ft}, os termos têm unidade \text{lbf}\,\text{ft}^{-2}.

Passo 12

Unidade do termo \tfrac{1}{2}\rho V^2 no BG (com \rho em \text{slug}\,\text{ft}^{-3}):
[\rho V^2] = \left(\text{slug}\,\text{ft}^{-3}\right)\cdot\left(\text{ft}\,\text{s}^{-1}\right)^2 = \text{slug}\,\text{ft}^{-1}\text{s}^{-2}.
Agora observe que \text{slug}\cdot\text{ft}\cdot\text{s}^{-2} = \text{lbf} por definição (essa é a escolha de unidade de massa “slug” que torna F=ma sem fator extra). Então
\text{slug}\,\text{ft}^{-1}\text{s}^{-2} = \frac{\text{slug}\cdot\text{ft}\cdot\text{s}^{-2}}{\text{ft}^2} = \frac{\text{lbf}}{\text{ft}^2}.
Portanto \tfrac{1}{2}\rho V^2 tem unidade \text{lbf}\,\text{ft}^{-2}, unidade de pressão no BG.

Passo 13

Unidade do termo \rho g Z no BG (com mesmas unidades):
[\rho g Z] = \left(\text{slug}\,\text{ft}^{-3}\right)\cdot\left(\text{ft}\,\text{s}^{-2}\right)\cdot\left(\text{ft}\right) = \text{slug}\,\text{ft}^{-1}\text{s}^{-2} = \frac{\text{lbf}}{\text{ft}^2}.
Logo também resulta em unidade de pressão \text{lbf}\,\text{ft}^{-2}.

Passo 14

Conclusão do item (c): usando o sistema BG com massa medida em \text{slug} (e força em \text{lbf}), cada termo da equação de Bernoulli tem unidade \text{lbf}\,\text{ft}^{-2} e a equação é consistente sem fatores de conversão adicionais.

Passo 15

Comentário prático e incentivo (rápido): se em vez de usar \text{slug} alguém usar \text{lbm} (pound-mass) será preciso introduzir o fator de conversão g_c para relacionar \text{lbm} e \text{lbf} na lei F=ma. Por isso, para evitar confusão em provas, ou use SI ou use BG com \text{slug} — isso deixa tudo direto. Você está indo bem por checar dimensões; isso sempre salva tempo na prova!

Resposta

(a) A equação é dimensionalmente homogênea porque todos os termos têm dimensão \,M L^{-1} T^{-2}.\n(b) Em unidades do SI todos os termos têm unidade de pressão \text{Pa} = \text{kg}\,\text{m}^{-1}\text{s}^{-2}, logo são consistentes.\n(c) Em unidades BG, tomando \rho em \text{slug}\,\text{ft}^{-3}, V em \text{ft}\,\text{s}^{-1}, g em \text{ft}\,\text{s}^{-2} e pressão em \text{lbf}\,\text{ft}^{-2}, todos os termos têm unidade \text{lbf}\,\text{ft}^{-2}, logo são consistentes.

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