Uma bomba aspira água de um poço e a lança num tanque aberto, a nivel do mar (Patm = 101,3 \mathrm{kPa} ), através de 375 m de tubo de aço que apresenta um fator de atrito igual a 0,02 . O diámetro da tubulação de admissão e recalque é de 100 \mathrm{~mm}\left(4^{\prime \prime}\right). O comprimento da tubulaçâo de admissâo é de 2,5 \mathrm{~m}. O desnível topográfico entre o nível do poço e o nível superior do tanque é de 80 m . A bomba está 1,4 \mathrm{~m} acima do nível do poço.
Existe uma válvula de pé com crivo ( \mathrm{Leq}=23 \mathrm{~m} ) e um cotovelo de 90^{\circ}(\mathrm{Leq}=5,5 \mathrm{~m}) na tubulação de admissão. Na tubulação de recalque existem 3 cotovelos de 90^{\circ}(\mathrm{Leq}=5,5 \mathrm{~m}), uma válvula de retenção (Leq =12,9 \mathrm{~m} ) e uma válvula de gaveta aberta ( \mathrm{Leq}=0,7 \mathrm{~m} ). A descarga é de 45,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}.
Determine:
a) (0,5) Faça um desenho esquemático do sistema descrito.
b) (0,5) a perda de carga [mca] na tubulação de admissão;
c) (0,5) a perda de carga [mca] na tubulação de recalque;
d) (0,5) a altura manométrica total (AMT) da instalação [mca] e potência da bomba se \eta=65 \%;
e) (0,5) NPSH disponível [mca] da instalação ( t=25^{\circ}; p v=3,1 \mathrm{kPa} abs).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Fazer um desenho esquemático do sistema.
  • (b) Calcular a perda de carga na tubulação de admissão, em \mathrm{mca}.
  • (c) Calcular a perda de carga na tubulação de recalque, em \mathrm{mca}.
  • (d) Calcular a altura manométrica total (AMT) em \mathrm{mca} e a potência da bomba quando \eta=65\%.
  • (e) Calcular o NPSH disponível em \mathrm{mca} (temperatura 25^\circ\mathrm{C}, p_v=3{,}1\\ \mathrm{kPa} abs).
Dados fornecidos (vou listar cada número exatamente como no enunciado):
  • Comprimento da tubulação de recalque: L_{\text{rec}}=375\\ \mathrm{m}.
  • Fator de atrito (f) da tubulação: f=0{,}02.
  • Diâmetro da tubulação de admissão e recalque: D=100\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação de admissão (linha de sucção): L_{\text{adm}}=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Desnível topográfico entre nível do poço (superfície do poço) e nível superior do tanque: \Delta z = 80\\ \mathrm{m}.
  • A bomba está 1{,}4\\ \mathrm{m} acima do nível do poço (altura do eixo/entrada da bomba em relação à superfície do poço): z_{\text{pump}}=+1{,}4\\ \mathrm{m} acima do nível do poço.
  • Elementos na admissão com seus L_{\text{eq}}:
    • Válvula de pé com crivo: L_{\text{eq}}=23\\ \mathrm{m}.
    • Cotovelo 90^\circ: L_{\text{eq}}=5{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Elementos no recalque com seus L_{\text{eq}}:
    • Três cotovelos 90^\circ: 3\times L_{\text{eq}}=3\times5{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Válvula de retenção: L_{\text{eq}}=12{,}9\\ \mathrm{m}.
    • Válvula de gaveta aberta: L_{\text{eq}}=0{,}7\\ \mathrm{m}.
  • Vazão de descarga: Q=45{,}5\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Pressão atmosférica: p_{\text{atm}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão de vapor (a 25^\circ\mathrm{C}): p_v=3{,}1\\ \mathrm{kPa} (absoluta).
  • Densidade da água (usar): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação importante: o enunciado deu os comprimentos equivalentes ( L_{\text{eq}}) para as perdas locais; eu vou somá-los aos comprimentos físicos para calcular as perdas por atrito usando Darcy–Weisbach com f=0{,}02.

Passo 2

Desenho esquemático (representação textual clara, com as principais alturas e elementos identificados). Isto serve como “desenho” pedido no item (a).
Fonte (poço, superfície livre) —> tubulação de admissão (comprimento físico 2{,}5\\ \mathrm{m}) com: válvula de pé ( L_{\text{eq}}=23\\ \mathrm{m}) e um cotovelo ( L_{\text{eq}}=5{,}5\\ \mathrm{m}) —> bomba (eixo/ponto de referência da bomba a 1{,}4\\ \mathrm{m} acima da superfície do poço) —> tubulação de recalque (comprimento físico 375\\ \mathrm{m}) com: 3 cotovelos ( 3\times5{,}5\\ \mathrm{m}), válvula de retenção ( 12{,}9\\ \mathrm{m}), válvula gaveta aberta ( 0{,}7\\ \mathrm{m}) —> tanque aberto (superfície livre a \Delta z=80\\ \mathrm{m} acima do poço) com pressão atmosférica p_{\text{atm}}.
(Em palavras: poço com superfície livre (atm) → sucção com acessórios → bomba (1,4 m acima do poço) → recalque longo com acessórios → tanque aberto 80 m acima do poço (atm).)

Passo 3

Converter vazão e calcular velocidade média na tubulação — é a primeira coisa prática a fazer porque aparece em todas as perdas.
  • Converter vazão: Q=\frac{45{,}5}{3600}\\ \mathrm{m^3/s}= \, \text{(vou calcular)}.
Q=0{,}0126389\\ \mathrm{m^3/s}\quad(\text{aprox.})
  • Área da seção transversal (tubo circular):
    A=\frac{\pi D^2}{4}.
    Substituindo D=0{,}1\\ \mathrm{m}:
    A=\frac{\pi(0{,}1)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}01/4=0{,}00785398\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média:
    V=\frac{Q}{A}.
V=\frac{0{,}0126389}{0{,}00785398}=1{,}60913\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.})
Explanação didática: a velocidade é a razão entre volume que passa por segundo e a área do cano. Sempre converta \mathrm{m^3/h} para \mathrm{m^3/s} dividindo por 3600.

Passo 4

Calcular a “carga de velocidade” (v²/2g), que aparece na fórmulas de perda por atrito (é a referência de energia cinética por unidade de peso).
Fórmula:
\frac{V^2}{2g}.
Substituindo V=1{,}60913\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(1{,}60913)^2}{2\cdot 9{,}81}=0{,}13203\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.})
Lembrete didático: \dfrac{V^2}{2g} tem unidades de metros (mca) e pode ser vista como “a altura equivalente” da energia cinética do fluido.

Passo 5

Calcular comprimentos equivalentes totais para sucção e recalque (somando L_{\text{eq}} dos acessórios ao comprimento físico):
  • Admissão (sucção):
    • Comprimento físico: L_{\text{adm}}=2{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Soma dos L_{\text{eq}} na admissão: 23 + 5{,}5 = 28{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento equivalente total na admissão: L_{\text{adm,eq}} = 2{,}5 + 28{,}5 = 31{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Recalque:
    • Comprimento físico: L_{\text{rec}}=375\\ \mathrm{m}.
    • Soma dos L_{\text{eq}} no recalque: 3\times5{,}5 + 12{,}9 + 0{,}7 = 16{,}5 + 12{,}9 + 0{,}7 = 30{,}1\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento equivalente total no recalque: L_{\text{rec,eq}} = 375 + 30{,}1 = 405{,}1\\ \mathrm{m}.
Didática: transformar acessórios em “metros equivalentes” é uma forma prática de tratar perdas locais como perdas por atrito distribuídas ao longo de um comprimento equivalente.

Passo 6

Calcular perda por atrito (Darcy–Weisbach) na tubulação de admissão.
Fórmula (head loss por atrito numa linha homogênea):
h_f = f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda por atrito em metros de coluna de água (mca),
  • f é o fator de atrito de Darcy (aqui 0{,}02),
  • L é o comprimento equivalente total da tubulação (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a gravidade.
Para a admissão:
L_{\text{adm,eq}}=31{,}0\\ \mathrm{m},\quad D=0{,}1\\ \mathrm{m},\quad f=0{,}02,\quad \frac{V^2}{2g}=0{,}13203\\ \mathrm{m}.
Calcular L/D:
\frac{L_{\text{adm,eq}}}{D}=\frac{31{,}0}{0{,}1}=310.
Logo
h_{f,\text{adm}}=0{,}02\times 310\times 0{,}13203=0{,}81856\\ \mathrm{m}.
Arredondando para apresentação: h_{f,\text{adm}}\approx 0{,}819\\ \mathrm{m} (mca).
Comentário didático: esse valor inclui já as perdas dos acessórios porque usamos os comprimentos equivalentes.

Passo 7

Calcular perda por atrito na tubulação de recalque (mesma fórmula).
Dados:
L_{\text{rec,eq}}=405{,}1\\ \mathrm{m},\quad D=0{,}1\\ \mathrm{m},\quad f=0{,}02,\quad \frac{V^2}{2g}=0{,}13203\\ \mathrm{m}.
Calcular L/D:
\frac{L_{\text{rec,eq}}}{D}=\frac{405{,}1}{0{,}1}=4051.
Logo
h_{f,\text{rec}}=0{,}02\times 4051\times 0{,}13203=10{,}6956\\ \mathrm{m}.
Arredondando: h_{f,\text{rec}}\approx 10{,}70\\ \mathrm{m} (mca).

Passo 8

Calcular a Altura Manométrica Total (AMT) que a bomba deve fornecer.
Teoria e motivo: para tubulações que ligam duas superfícies abertas (ambas à pressão atmosférica) a diferença de pressão atmosférica se cancela. A AMT é composta pelo desnível estático entre superfícies \Delta z mais todas as perdas no percurso (sucção + recalque). Se as velocidades no livre-sup. são desprezíveis e o diâmetro é o mesmo nas tubulações de sucção e recalque (como aqui), o termo de velocidade líquido se anula; então a expressão prática é:
\text{AMT} = \Delta z + h_{f,\text{adm}} + h_{f,\text{rec}}.
Substituindo valores:
\Delta z = 80\\ \mathrm{m},\quad h_{f,\text{adm}}=0{,}81856\\ \mathrm{m},\quad h_{f,\text{rec}}=10{,}6956\\ \mathrm{m}.
\text{AMT}=80 + 0{,}81856 + 10{,}6956 = 91{,}5142\\ \mathrm{m}.
Arredondado: \text{AMT}\approx 91{,}51\\ \mathrm{m} (mca).
Didática: em provas, se as duas superfícies são abertas ao ar, frequentemente a diferença de pressão não entra; você soma o desnível mais todas as perdas hidráulicas.

Passo 9

Calcular a potência hidráulica e a potência na árvore da bomba considerando rendimento \eta=65\%.
  • Potência hidráulica (energia por segundo fornecida ao fluido):
    P_{\text{hid}}=\rho g Q \,\text{AMT}.
    Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q=0{,}0126389\\ \mathrm{m^3/s}, \text{AMT}=91{,}5142\\ \mathrm{m}:
    P_{\text{hid}} = 1000\times 9{,}81\times 0{,}0126389\times 91{,}5142 \approx 11345{,}3\\ \mathrm{W}.
    Ou seja P_{\text{hid}}\approx 11{,}345\\ \mathrm{kW}.
  • Potência no eixo (ser entregue pela motor-bomba), considerando eficiência \eta:
    P_{\text{eixo}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}=\frac{11345{,}3}{0{,}65}\approx 17453{,}5\\ \mathrm{W}\approx 17{,}45\\ \mathrm{kW}.
Didática: sempre dividir a potência hidráulica pelo rendimento (expressado em fração, não em %) para obter a potência elétrica/ no eixo exigida.

Passo 10

Calcular o NPSH disponível (NPSHa). Vou deduzir e explicar a fórmula usada:
Definição prática usada (com velocidades e perdas de sucção):
\text{NPSHa}=\frac{p_{\text{atm}}}{\rho g} + z_s - z_{\text{pump}} - h_{f,\text{adm}} + \frac{V^2}{2g} - \frac{p_v}{\rho g}.
Explicação termo a termo:
  • \dfrac{p_{\text{atm}}}{\rho g} é a carga de pressão no topo do poço (mca).
  • z_s - z_{\text{pump}} é a diferença de cota entre superfície do poço e a entrada da bomba (negativo se bomba acima do nível do poço).
  • -h_{f,\text{adm}} subtrai as perdas na sucção.
  • +\dfrac{V^2}{2g} é a carga de velocidade no ponto de sucção (é comum somar esta contribuição).
  • -\dfrac{p_v}{\rho g} subtrai a altura equivalente da pressão de vapor (porque queremos a margem antes de vaporizar).
Substituindo valores numéricos:
  • \dfrac{p_{\text{atm}}}{\rho g}=\dfrac{101300}{1000\cdot 9{,}81}=10{,}32996\\ \mathrm{m}.
  • z_s=0 (referência no nível do poço), z_{\text{pump}}=+1{,}4\\ \mathrm{m}, então z_s-z_{\text{pump}}=-1{,}4\\ \mathrm{m}.
  • h_{f,\text{adm}}=0{,}81856\\ \mathrm{m} (do Passo 6).
  • \dfrac{V^2}{2g}=0{,}13203\\ \mathrm{m} (Passo 4).
  • \dfrac{p_v}{\rho g}=\dfrac{3100}{1000\cdot 9{,}81}=0{,}31632\\ \mathrm{m}.
Agora montar:
\text{NPSHa}=10{,}32996 - 1{,}4 - 0{,}81856 + 0{,}13203 - 0{,}31632.
Calcular passo a passo:
10{,}32996 - 1{,}4 = 8{,}92996,
8{,}92996 - 0{,}81856 = 8{,}11140,
8{,}11140 + 0{,}13203 = 8{,}24343,
8{,}24343 - 0{,}31632 = 7{,}92711\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \text{NPSHa}\approx 7{,}93\\ \mathrm{m} (mca).
Comentário didático: NPSHa é uma medida da “folga” até quecomece a cavitação. Ela deve ser comparada com o NPSH requerido pelo fabricante da bomba; normalmente o NPSHa deve ser maior que o NPSHr por uma margem de segurança.

Resposta

(a) Esquema (texto/diagrama):
Poço (superfície livre, p_{\text{atm}}) – [tubo sucção L=2{,}5\\ \mathrm{m}; válvula de pé L_{\text{eq}}=23\\ \mathrm{m}; cotovelo L_{\text{eq}}=5{,}5\\ \mathrm{m}] --> Bomba (eixo a 1{,}4\\ \mathrm{m} acima do poço) – [tubo recalque L=375\\ \mathrm{m}; 3 cotovelos 3\times5{,}5\\ \mathrm{m}; válvula retenção 12{,}9\\ \mathrm{m}; gaveta 0{,}7\\ \mathrm{m}] --> Tanque aberto (superfície livre a 80\\ \mathrm{m} acima do poço, p_{\text{atm}}).
(b) Perda de carga na admissão: h_{f,\text{adm}}\approx 0{,}819\\ \mathrm{m} (mca).
(c) Perda de carga no recalque: h_{f,\text{rec}}\approx 10{,}696\\ \mathrm{m} (mca).
(d) Altura manométrica total (AMT): \text{AMT}\approx 91{,}51\\ \mathrm{m} (mca).
Potência da bomba (eixo) com \eta=65\%: P_{\text{eixo}}\approx 17{,}45\\ \mathrm{kW} (potência hidráulica \approx 11{,}35\\ \mathrm{kW}).
(e) NPSH disponível: \text{NPSHa}\approx 7{,}93\\ \mathrm{m} (mca).

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