As distribuições espectrais de Wien e de Rayleig-Jeans são aproximações da lei de Planck para o poder emissivo espectral, que são úteis nos limites extremamente baixo e elevado de produto
, respectivamente.
Mostre que a distribuição de Planck assumirá a forma
Quando
e determine o erro (em comparação com a lei de Planck) para a condição
. K. Essa forma é conhecida como lei de Rayleigh-Jeans.
Mostre que a distribuição de Planck assumirá a forma
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que se pede):
- Pedem para mostrar que a lei de Planck, no limite adequado, toma a forma
- Pedem também para determinar o erro (comparado com a lei de Planck exata) para a condição
. - Informação implícita:
e são constantes radiativas usuais (elas aparecem na lei de Planck).
Observação importante (sobre a desigualdade no enunciado): para que a aproximação acima (lei de Rayleigh–Jeans) seja válida precisamos que o argumento da exponencial seja pequeno; isto é, precisamos de. O enunciado dá , o que é incompatível com a forma de Rayleigh–Jeans — portanto vou usar a condição correta para deduzir a expressão pedida e calcular o erro.
Passo 2
Escrevendo a lei de Planck e definindo as constantes:
- A forma da lei de Planck para o poder emissivo espectral por comprimento de onda (com constantes agrupadas em
) é
- Aqui:
-
é o comprimento de onda (em , no nosso caso), -
é a temperatura (em K), -
é a constante de primeiro tipo (proporcional a ), e -
é a constante de segundo tipo dada por (unidades de se está em ).
-
- Valor numérico útil:
(valor padrão convertido para ).
Passo 3
Mudança de variável e condição de aproximação:
- Defina o parâmetro adimensional
- A condição para obter a lei de Rayleigh–Jeans é
(ou seja, ). - Explicação didática da aproximação: para
pequeno usamos a expansão de Taylor da exponencial em torno de :
Para
podemos aproximar
. Isso é porque os termos de ordem
e superiores são muito menores que
.
Passo 4
Derivação passo a passo da forma de Rayleigh–Jeans:
- Começamos com a lei de Planck escrita em função de
:
- Para
usamos . Substituindo:
- Substituindo
obtemos
- Comentário didático: a etapa essencial foi reconhecer que, quando a razão
é muito pequena, a exponencial pode ser linearizada e a dependência em muda de para multiplicada por . Essa é a lei de Rayleigh–Jeans.
Passo 5
Expressão exata do erro relativo entre a aproximação e a lei de Planck:
- Denotando
a aproximação e a expressão de Planck, queremos o erro relativo
- Calcule a razão
. Usando as formas:
temos
- Usando
isso simplifica para
- Portanto o erro relativo é
- Observação prática: para
podemos expandir e obter aproximadamente (porque ) — isto fornece uma estimativa rápida do erro.
Passo 6
Cálculo numérico do erro para
:
- Primeiro calcule
. Usando ,
- Agora calcule
. Usando a expansão (ou uma calculadora) obtemos
- Substituindo em
:
- Convertendo em porcentagem:
- Interpretação: para
a lei de Rayleigh–Jeans superestima o valor de Planck em cerca de .
Resposta
Erro relativo para
: aproximadamente
(Rayleigh–Jeans superestima o valor de Planck).