As distribuições espectrais de Wien e de Rayleig-Jeans são aproximações da lei de Planck para o poder emissivo espectral, que são úteis nos limites extremamente baixo e elevado de produto \lambda T, respectivamente.
Mostre que a distribuição de Planck assumirá a forma
E_{\lambda, c n}(\lambda, T) \approx \frac{C_{1}}{C_{2}} \frac{T}{\lambda^{4}}
Quando C_{2} / \lambda T \gg 1 e determine o erro (em comparação com a lei de Planck) para a condição \lambda T=100.000 \mu m. K. Essa forma é conhecida como lei de Rayleigh-Jeans.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que se pede):
  • Pedem para mostrar que a lei de Planck, no limite adequado, toma a forma
E_{\lambda,cn}(\lambda,T)\approx\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{T}{\lambda^{4}}.
  • Pedem também para determinar o erro (comparado com a lei de Planck exata) para a condição \lambda T = 100\,000\\ \mu\text{m}\cdot\text{K}.
  • Informação implícita: C_{1} e C_{2} são constantes radiativas usuais (elas aparecem na lei de Planck).
    Observação importante (sobre a desigualdade no enunciado): para que a aproximação acima (lei de Rayleigh–Jeans) seja válida precisamos que o argumento da exponencial seja pequeno; isto é, precisamos de \dfrac{C_{2}}{\lambda T}\ll 1. O enunciado dá \dfrac{C_{2}}{\lambda T}\gg 1, o que é incompatível com a forma de Rayleigh–Jeans — portanto vou usar a condição correta \dfrac{C_{2}}{\lambda T}\ll 1 para deduzir a expressão pedida e calcular o erro.

Passo 2

Escrevendo a lei de Planck e definindo as constantes:
  • A forma da lei de Planck para o poder emissivo espectral por comprimento de onda (com constantes agrupadas em C_{1},C_{2}) é
E_{\lambda,cn}(\lambda,T)=\frac{C_{1}}{\lambda^{5}\left(\exp\!\big(\dfrac{C_{2}}{\lambda T}\big)-1\right)}.
  • Aqui:
    • \lambda é o comprimento de onda (em \mu\text{m}, no nosso caso),
    • T é a temperatura (em K),
    • C_{1} é a constante de primeiro tipo (proporcional a 2\pi h c^{2}), e
    • C_{2} é a constante de segundo tipo dada por C_{2}=\dfrac{h c}{k} (unidades de \mu\text{m}\cdot\text{K} se \lambda está em \mu\text{m}).
  • Valor numérico útil: \displaystyle C_{2}\approx 1{,}4387\times10^{4}\\ \mu\text{m}\cdot\text{K} (valor padrão convertido para \mu\text{m}\cdot\text{K}).

Passo 3

Mudança de variável e condição de aproximação:
  • Defina o parâmetro adimensional
x=\frac{C_{2}}{\lambda T}.
  • A condição para obter a lei de Rayleigh–Jeans é x\ll 1 (ou seja, \dfrac{C_{2}}{\lambda T}\ll 1).
  • Explicação didática da aproximação: para x pequeno usamos a expansão de Taylor da exponencial em torno de x=0:
\exp(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots.
Para x\ll 1 podemos aproximar \exp(x)-1\approx x. Isso é porque os termos de ordem x^{2} e superiores são muito menores que x.

Passo 4

Derivação passo a passo da forma de Rayleigh–Jeans:
  • Começamos com a lei de Planck escrita em função de x:
E_{\lambda,cn}(\lambda,T)=\frac{C_{1}}{\lambda^{5}\left(e^{x}-1\right)}.
  • Para x\ll 1 usamos e^{x}-1\approx x. Substituindo:
E_{\lambda,cn}(\lambda,T)\approx\frac{C_{1}}{\lambda^{5}x}.
  • Substituindo x=\dfrac{C_{2}}{\lambda T} obtemos
E_{\lambda,cn}(\lambda,T)\approx\frac{C_{1}}{\lambda^{5}}\cdot\frac{\lambda T}{C_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{T}{\lambda^{4}}.
  • Comentário didático: a etapa essencial foi reconhecer que, quando a razão \dfrac{C_{2}}{\lambda T} é muito pequena, a exponencial pode ser linearizada e a dependência em \lambda muda de \lambda^{-5} para \lambda^{-4} multiplicada por T. Essa é a lei de Rayleigh–Jeans.

Passo 5

Expressão exata do erro relativo entre a aproximação e a lei de Planck:
  • Denotando E_{\text{RJ}} a aproximação e E_{\text{P}} a expressão de Planck, queremos o erro relativo
\delta=\frac{E_{\text{RJ}}-E_{\text{P}}}{E_{\text{P}}}.
  • Calcule a razão E_{\text{RJ}}/E_{\text{P}}. Usando as formas:
E_{\text{RJ}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{T}{\lambda^{4}},\qquad E_{\text{P}}=\frac{C_{1}}{\lambda^{5}(e^{x}-1)},
temos
\frac{E_{\text{RJ}}}{E_{\text{P}}}=\frac{\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\dfrac{T}{\lambda^{4}}}{\dfrac{C_{1}}{\lambda^{5}(e^{x}-1)}}=\frac{\lambda T}{C_{2}}\,(e^{x}-1).
  • Usando \lambda T/C_{2}=1/x isso simplifica para
\frac{E_{\text{RJ}}}{E_{\text{P}}}=\frac{e^{x}-1}{x}.
  • Portanto o erro relativo é
\delta=\frac{e^{x}-1}{x}-1=\frac{e^{x}-1-x}{x}.
  • Observação prática: para x\ll 1 podemos expandir e^{x} e obter aproximadamente \delta\approx \dfrac{x}{2} (porque e^{x}-1-x\approx x^{2}/2) — isto fornece uma estimativa rápida do erro.

Passo 6

Cálculo numérico do erro para \lambda T=100\,000\\ \mu\text{m}\cdot\text{K}:
  • Primeiro calcule x=\dfrac{C_{2}}{\lambda T}. Usando C_{2}\approx 1{,}4387769\times10^{4}\\ \mu\text{m}\cdot\text{K},
x=\frac{1{,}4387\!\times\!10^{4}}{100{,}000}\approx 0{,}1438777.
  • Agora calcule e^{x}. Usando a expansão (ou uma calculadora) obtemos
e^{x}\approx 1{,}154743.
  • Substituindo em \delta=\dfrac{e^{x}-1-x}{x}:
\delta=\frac{1{,}154743-1-0{,}1438777}{0{,}1438777}\approx\frac{0{,}0108653}{0{,}1438777}\approx 0{,}07555.
  • Convertendo em porcentagem:
\delta\approx 0{,}07555\times100\%\approx 7{,}55\%.
  • Interpretação: para \lambda T=100{,}000\\ \mu\text{m}\cdot\text{K} a lei de Rayleigh–Jeans superestima o valor de Planck em cerca de 7{,}55\%.

Resposta

E_{\lambda,cn}(\lambda,T)\approx\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{T}{\lambda^{4}}
Erro relativo para \lambda T=100\,000\\ \mu\text{m}\cdot\text{K}: aproximadamente 7{,}55\% (Rayleigh–Jeans superestima o valor de Planck).

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