A equação de van de Waals é uma equação de estado para gases compostos de partículas que tem um volume diferente de zero e forças de interação e é escrita como:
\left(P+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R T; onde e são constantes. Em um diagrama PV identifica-se um ponto de inflexão nas isotermas de um gás de van der Waals correspondente ao ponto crítico do gás. Escreva as constantes a e b de van der Waals em termos das grandezas termodinâmicas críticas \mathrm{P}{
\mathrm{C}}, \mathrm{T}{
\mathrm{C}} \mathrm{e} \mathrm{v}_{
\mathrm{C}}.
Passo 1
O enunciado dá a equação de van der Waals
e diz que no ponto crítico (denotado por , , ) a isoterma apresenta ponto de inflexão. Para encontrar e em termos de , e vamos: isolar , impor e em e resolver pelas constantes.
Passo 2
Isolando em função de e obtemos
Passo 3
No ponto crítico a curva tem inflexão, logo
Passo 4
Calculemos as derivadas:
partial Ppartial v =-R,T(v-b)^2+2,av^3, partial^2Ppartial v^2 =2,R,T(v-b)^3-6,av^4
Impondo ambas nulas em (vC,TC) e dividindo a segunda pela primeira elimina TC, resultando em
2=3,(vC-b)vC ;;Longrightarrow;;b=vC3
Passo 5
Para achar a, use a condição partial P/partial v=0 em vC,TC: