A equação de van de Waals é uma equação de estado para gases compostos de partículas que tem um volume diferente de zero e forças de interação e é escrita como:
\left(P+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R T; onde a, b e R são constantes. Em um diagrama PV identifica-se um ponto de inflexão nas isotermas de um gás de van der Waals correspondente ao ponto crítico do gás. Escreva as constantes a e b de van der Waals em termos das grandezas termodinâmicas críticas \mathrm{P}{
\mathrm{C}}, \mathrm{T}
{
\mathrm{C}} \mathrm{e} \mathrm{v}_{
\mathrm{C}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação de van der Waals
l(P+av^2r),(v-b)=R,T
e diz que no ponto crítico (denotado por PC, TC, vC) a isoterma apresenta ponto de inflexão. Para encontrar a e b em termos de PC, TC e vC vamos: isolar P, impor partial P/partial v=0 e partial^2P/partial v^2=0 em (vC,TC) e resolver pelas constantes.

Passo 2

Isolando P em função de v e T obtemos
P(v,T);=;R,Tv-b;-;av^2,

Passo 3

No ponto crítico a curva P(v) tem inflexão, logo
partial Ppartial v|vC,TC=0 e partial^2 Ppartial v^2|vC,TC=0

Passo 4

Calculemos as derivadas:
partial Ppartial v =-R,T(v-b)^2+2,av^3, partial^2Ppartial v^2 =2,R,T(v-b)^3-6,av^4
Impondo ambas nulas em (vC,TC) e dividindo a segunda pela primeira elimina TC, resultando em
2=3,(vC-b)vC ;;Longrightarrow;;b=vC3

Passo 5

Para achar a, use a condição partial P/partial v=0 em vC,TC:
-R,TC(vC-b)^2+2,avC^3=0 ;;Longrightarrow;; R,TC =2,a,(vC-b)^2vC^3
Substituindo b=vC/3 e simplificando dá
a=98,R,TC,vC
Como queremos a também em termos de PC e vC, usamos ainda a própria equação de estado no ponto crítico para obter
PC =R,TCvC-b-avC^2 =38,R,TCvC Longrightarrow a=3,PC,vC^2

Resposta

b=vC3, a=3,PC,vC^2

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