A funçâo horária de uma partícula em movimento retilineo é dada pela seguinte expressâo: x(t)=t^3- 5 t^2+4 t-7, em unidades do sistema internacional - Sl. Calcule, para o intervalo de tempo de 1,20 s a 2,50 s (a) a velocidade e a aceleração médias. Calcule a velocidade e a aceleração no instante t=3,2 s. (c) Em que instantes a particula inverte o sentido de seu movimento?

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em movimento retilíneo
x(t)=t^3-5,t^2+4,t-7
e pede:
a) velocidade média e aceleração média no intervalo de t1=1,20 s a t2=2,50 s.
b) velocidade e aceleração instantâneas em t=3,2 s.
c) instantes em que a partícula inverte o sentido do movimento.
Vamos usar definição de velocidade média De<a x/De<a t, aceleração média De<a v/De<a t e derivadas para valores instantâneos.

Passo 2

Calcular x(1,20) e x(2,50):
x(1,20)=(1,20)^3-5(1,20)^2+4(1,20)-7 =1,728 -5cdot1,44 +4,8 -7 =1,728 -7,20 +4,8 -7 =-7,672 m,
x(2,50)=(2,50)^3-5(2,50)^2+4(2,50)-7 =15,625 -5cdot6,25 +10 -7 =15,625 -31,25 +10 -7 =-12,625 m
Logo De<a x=x(2,50)-x(1,20)=-12,625-(-7,672)=-4,953 m e De<a t=2,50-1,20=1,30 s.

Passo 3

A velocidade média é
vmédia=De<a xDe<a t =-4,9531,30 approx -3,81 m/s é

Passo 4

A aceleração média usa De<a v=v(2,50)-v(1,20). Primeiro obtemos
v(t)=dxdt=3,t^2-10,t+4
Então
v(1,20)=3cdot1,44 -10cdot1,20+4=4,32-12+4=-3,68 m/s,
v(2,50)=3cdot6,25 -10cdot2,50+4=18,75-25+4=-2,25 m/s,
De<a v=1,43 m/s. Portanto
amédia=De<a vDe<a t =1,431,30 approx 1,10 m/s^2 é

Passo 5

Para instante t=3,2 s:
v(3,2)=3,(3,2)^2-10,(3,2)+4 =3cdot10,24 -32+4 =30,72-28 =2,72 m/s
A aceleração instantânea é
a(t)=dvdt=6,t-10,
logo
a(3,2)=6cdot3,2-10 =19,2-10 =9,2 m/s^2

Passo 6

A partícula inverte o sentido quando v(t)=0. Resolvem-se
3,t^2-10,t+4=0
pela fórmula de Bhaskara:
t=10pmraiz(-10)^2-4cdot3cdot42cdot3 =10pmraiz100-486 =10pmraiz526 =5pmraiz133 s

Resposta

a) vmédiaapprox -3,81 m/sé, ;amédiaapprox 1,10 m/s^2é.
b) v(3,2)approx 2,72 m/s, ;a(3,2)=9,2 m/s^2.
c) t=5-raiz133 s e t=5+raiz133 s.

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