A equação para a vazão de água através de um injetor é:
Onde:
-
volume que escoa por unidade de tempo
-
aceleração da gravidade local
-
menor diâmetro do injetor
-
maior diâmetro do injetor
-
= área de saída do injetor
-
perda de pressão ao longo do injetor
-
densidade do fluido
-
Constante adimensional
Diga se esta equação é dimensionalmente consitente. Indique como você chegou a esta conclusão.
Diga se esta equação é dimensionalmente consitente. Indique como você chegou a esta conclusão.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a vazão de água num injetor é dada por
E a pergunta é: “essa equação é dimensionalmente consistente?”
Conteúdo: vamos usar análise dimensional (cada termo tem que bater em unidades de comprimento [L], massa [M] e tempo [T]). Pra isso, precisamos saber a dimensão de cada variável: q, C, g, d₁, d₂, A, Δp e ρ.
Conteúdo: vamos usar análise dimensional (cada termo tem que bater em unidades de comprimento [L], massa [M] e tempo [T]). Pra isso, precisamos saber a dimensão de cada variável: q, C, g, d₁, d₂, A, Δp e ρ.
Passo 2
Listando as dimensões:
- q (vazão volumétrica) → [L³ T⁻¹]
- C (constante adimensional) → [1]
- g (gravidade) → [L T⁻²]
- d₁ e d₂ (diâmetros) → [L]
- A (área) → [L²]
- Δp (pressão) → [M L⁻¹ T⁻²]
- ρ (densidade) → [M L⁻³]
Passo 3
Olha o fator
: ele é adimensional porque é quociente de comprimentos elevado a potência. Então
e tem dimensão
Passo 4
Agora vê o
:
- Primeiro
tem dimensão
. - Aí
→ . - Multiplicando por A ([L²]) dá
.
Passo 5
Juntando tudo no lado direito:
- C é [1],
-
, -
.
Multiplicando:
Passo 6
Comparando com a dimensão de q, que é
, dá pra ver que
.
Resposta
A equação NÃO é dimensionalmente consistente, pois o lado direito sobra com dimensão
em vez de
.