A equação para a vazão de água através de um injetor é:
q=C raiz2 g1-(d1 / d2)^4(A raizDe
Onde:
  • q= volume que escoa por unidade de tempo
  • g= aceleração da gravidade local
  • d1= menor diâmetro do injetor
  • d2= maior diâmetro do injetor
  • A = área de saída do injetor
  • De perda de pressão ao longo do injetor
  • rho= densidade do fluido
  • C= Constante adimensional
    Diga se esta equação é dimensionalmente consitente. Indique como você chegou a esta conclusão.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a vazão de água num injetor é dada por
q = C ,raiz2g1-(d1/d2)^4;l(AraiztfracDe
E a pergunta é: “essa equação é dimensionalmente consistente?”
Conteúdo: vamos usar análise dimensional (cada termo tem que bater em unidades de comprimento [L], massa [M] e tempo [T]). Pra isso, precisamos saber a dimensão de cada variável: q, C, g, d₁, d₂, A, Δp e ρ.

Passo 2

Listando as dimensões:
  • q (vazão volumétrica) → [L³ T⁻¹]
  • C (constante adimensional) → [1]
  • g (gravidade) → [L T⁻²]
  • d₁ e d₂ (diâmetros) → [L]
  • A (área) → [L²]
  • Δp (pressão) → [M L⁻¹ T⁻²]
  • ρ (densidade) → [M L⁻³]

Passo 3

Olha o fator raiz2g1-(d1/d2)^4 longrightarrow raiz2g : ele é adimensional porque é quociente de comprimentos elevado a potência. Então
raiz[L,T^-2] = [L^1/2,T^-1]
e tem dimensão

Passo 4

Agora vê o :
  • Primeiro tem dimensão
    .
  • .
  • Multiplicando por A ([L²]) dá
    .

Passo 5

Juntando tudo no lado direito:
  • C é [1],
  • [1];times;[L^1/2,T^-1];times;[L^3,T^-1] = [L^7/2,T^-2] ,
  • .
    Multiplicando:

Passo 6

Comparando com a dimensão de q, que é , dá pra ver que
.

Resposta

A equação NÃO é dimensionalmente consistente, pois o lado direito sobra com dimensão em vez de .

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