Dê uma equação vetorial da reta r perpendicular ao plano \pi de equação \pi: x-2 y-4 z-20=0, e que contém um diâmetro da superfície esférica S de equação S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y+8 z+9=0.
Escolha uma opção:
a. X=(1,2,-4)+\lambda(1,-2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}
b. X=(1,2,-4)+\lambda(1,2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}
c. X=(-1,2,-4)+\lambda(1,2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}
d. X=(-1,-2,-4)+\lambda(1,-2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}
e. X=(-1,-2,-4)+\lambda(1,2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}
f. X=(-1,2,-4)+\lambda(1,-2,-4), com \lambda \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta r que é perpendicular ao plano \pi de equação
\pi: x - 2y - 4z - 20 = 0
e que contém um diâmetro da esfera S de equação
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+8z+9=0.
Para resolver, precisamos (1) encontrar o centro da esfera (pois o diâmetro passa por esse centro) e (2) usar o vetor normal ao plano como direção da reta.

Passo 2

Determinar o centro da esfera completando quadrados. Partindo de
x^2 - 2x + y^2 - 4y + z^2 + 8z + 9 = 0,
temos
(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + (z+4)^2 - 16 + 9 = 0
(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+4)^2 -12 = 0
(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+4)^2 = 12.
Logo, o centro da esfera é
C = (1,2,-4).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano \pi vem dos coeficientes de x,y,z na equação de \pi, ou seja,
\mathbf{n} = (1,-2,-4).

Passo 4

A reta r perpendicular a \pi e que passa por C (consequentemente contendo um diâmetro da esfera) tem equação vetorial
X = (1,2,-4) + \lambda\,(1,-2,-4), \quad \lambda \in \mathbb{R}.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, vemos que corresponde à alternativa a.

Resposta

(a)

Exercícios relacionados