As raízes da equação
são reais e estão em progressão geométrica. Determine seu conjunto solução.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma equação cúbica:
. O enunciado diz que as raízes dessa equação são números reais e estão em progressão geométrica. Hoje vamos usar conceitos de álgebra, especialmente sobre raízes de polinômios e progressão geométrica, para encontrar quais são essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se as raízes estão em progressão geométrica, podemos representá-las como
, onde
é a primeira raiz e
é a razão da progressão.
Passo 3
Sabemos que, para um polinômio cúbico da forma
, as relações entre as raízes (
) e os coeficientes são:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos aplicar essas relações usando as raízes em progressão geométrica
.
Primeiro, a soma das raízes:
Passo 5
Fatorando
, temos:
Passo 6
Agora, vamos para a soma dos produtos das raízes dois a dois:
Passo 7
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Dividindo toda a equação por 7 para simplificar:
Passo 10
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
ou
.
Passo 11
Vamos considerar os dois casos para encontrar
:
Caso 1:
As raízes são:
,
,
Caso 2:
As raízes são:
,
,
Resposta
As raízes da equação são
,
e
.