As raízes da equação x^3+7 x^2+14 x+8=0 são reais e estão em progressão geométrica. Determine seu conjunto solução.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação cúbica: x^3 + 7x^2 + 14x + 8 = 0. O enunciado diz que as raízes dessa equação são números reais e estão em progressão geométrica. Hoje vamos usar conceitos de álgebra, especialmente sobre raízes de polinômios e progressão geométrica, para encontrar quais são essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se as raízes estão em progressão geométrica, podemos representá-las como a, ar, ar^2, onde a é a primeira raiz e r é a razão da progressão.

Passo 3

Sabemos que, para um polinômio cúbico da forma x^3 + bx^2 + cx + d = 0, as relações entre as raízes ( alpha, beta, gamma) e os coeficientes são:
alpha + beta + gamma = -b
alphabeta + alphagamma + betagamma = c
alphabetagamma = -d
No nosso caso, b = 7, c = 14 e d = 8.

Passo 4

Vamos aplicar essas relações usando as raízes em progressão geométrica a, ar, ar^2.
Primeiro, a soma das raízes:
a + ar + ar^2 = -7

Passo 5

Fatorando a, temos:
a(1 + r + r^2) = -7 Rightarrow a = -71 + r + r^2

Passo 6

Agora, vamos para a soma dos produtos das raízes dois a dois:
a cdot ar + a cdot ar^2 + ar cdot ar^2 = 14
a^2 r (1 + r + r^2) = 14

Passo 7

Substituindo a da etapa anterior:
(-71 + r + r^2)^2 r (1 + r + r^2) = 14
49 r1 + r + r^2 = 14

Passo 8

Resolvendo para r:
49 r = 14 (1 + r + r^2)
49 r = 14 + 14 r + 14 r^2
14 r^2 - 35 r + 14 = 0

Passo 9

Dividindo toda a equação por 7 para simplificar:
2 r^2 - 5 r + 2 = 0

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = 5 pm raiz25 - 164 = 5 pm 34
Então, r = 2 ou r = 12.

Passo 11

Vamos considerar os dois casos para encontrar a:
Caso 1: r = 2
a = -71 + 2 + 4 = -77 = -1
As raízes são: -1, -2, -4
Caso 2: r = 12
a = -71 + 12 + 14 = -774 = -4
As raízes são: -4, -2, -1

Resposta

As raízes da equação são -1, -2 e -4.

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