A equação
define, implicitamente,
como função de
. Determine o valor de (4)
, sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação envolvendo
e
:
Essa equação define
como uma função de
, ou seja,
depende de
. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
no ponto onde
, sabendo que
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que é quando a função não está isolada em termos de
, mas está embutida em uma equação com
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a
. Lembre-se que quando derivamos
em relação a
, precisamos usar a regra da cadeia, porque
é uma função de
. Isso significa que a derivada de
é
.
Então, derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . Aqui usamos a regra do produto: derivamos (que dá ) multiplicado por , mais multiplicado pela derivada de (que é 1). - Derivada de
em relação a é . Aqui usamos a regra da cadeia: derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é . - Derivada de uma constante, como 3, é 0.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
dos termos à esquerda:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na expressão que encontramos para
:
Resposta
O valor de
é
.