A equação x^2+y x+y^3=3 define, implicitamente, y como função de :. Determine o valor de (4) y^prime(1), sabendo que y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação envolvendo x e y:
x^2 + yx + y^3 = 3
Essa equação define y como uma função de x, ou seja, y depende de x. Nosso objetivo é encontrar a derivada de y em relação a x no ponto onde x = 1, sabendo que y(1) = 1. Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que é quando a função não está isolada em termos de y, mas está embutida em uma equação com x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a x. Lembre-se que quando derivamos y em relação a x, precisamos usar a regra da cadeia, porque y é uma função de x. Isso significa que a derivada de y é y'.
Então, derivando cada termo:
  • Derivada de x^2 em relação a x é 2x.
  • Derivada de yx em relação a x é y + x y'. Aqui usamos a regra do produto: derivamos y (que dá y') multiplicado por x, mais y multiplicado pela derivada de x (que é 1).
  • Derivada de y^3 em relação a x é 3y^2 y'. Aqui usamos a regra da cadeia: derivada de y^3 em relação a y é 3y^2, e depois multiplicamos pela derivada de y em relação a x, que é y'.
  • Derivada de uma constante, como 3, é 0.
Então, temos:
2x + y + xy' + 3y^2y' = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver para y'. Primeiro, vamos agrupar os termos que contêm y':
xy' + 3y^2y' = -2x - y
Fatorando y' dos termos à esquerda:
y'(x + 3y^2) = -2x - y
Agora, isolamos y':
y' = -2x - yx + 3y^2

Passo 4

Agora, vamos substituir x = 1 e y = 1 na expressão que encontramos para y':
y' = -2(1) - 11 + 3(1)^2 = -2 - 11 + 3 = -34

Resposta

O valor de y'(1) é -dfrac34.

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