Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados, utilizando as proprieriades das derivadas:
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função $ c_{c}(x) = (x^{3} - x^{2} + 7x) \ln x $ no ponto $ x = 1 $. Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, especificamente usando a regra do produto porque temos duas funções multiplicadas: um polinômio e o logaritmo natural. Vamos precisar lembrar como derivar cada uma dessas partes e aplicar a regra do produto direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
- $ u(x) = x^{3} - x^{2} + 7x $
- $ v(x) = \ln x $
Para derivar $ c_{c}(x) $, vamos usar a regra do produto, que diz que se $ c(x) = u(x) \cdot v(x) $, então:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
- Derivada de $ u(x) $:
- Derivada de $ v(x) $:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando a segunda parte:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ c’(1) $, substituindo $ x = 1 $ na expressão:
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então a primeira parte da derivada vai desaparecer:
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então a primeira parte da derivada vai desaparecer:
E a segunda parte:
Resposta
A derivada da função $ c_{c}(x) $ no ponto $ x = 1 $ é igual a 7.