Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados, utilizando as proprieriades das derivadas:
cc(x)=(x^3-x^2+7 x) ln x no ponto x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função $ c_{c}(x) = (x^{3} - x^{2} + 7x) \ln x $ no ponto $ x = 1 $. Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, especificamente usando a regra do produto porque temos duas funções multiplicadas: um polinômio e o logaritmo natural. Vamos precisar lembrar como derivar cada uma dessas partes e aplicar a regra do produto direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • $ u(x) = x^{3} - x^{2} + 7x $
  • $ v(x) = \ln x $
Para derivar $ c_{c}(x) $, vamos usar a regra do produto, que diz que se $ c(x) = u(x) \cdot v(x) $, então:
u(x) = x^3 - x^2 + 7x

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
  • Derivada de $ u(x) $:
u(x)
- Derivada de $ v(x) $:
v(x)

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
c'(x) = (3x^2 - 2x + 7) cdot ln x + (x^3 - x^2 + 7x) cdot 1x
Simplificando a segunda parte:
(x^3 - x^2 + 7x) cdot 1x = x^2 - x + 7
Então, a derivada fica:
c'(x) = (3x^2 - 2x + 7) ln x + x^2 - x + 7

Passo 5

Agora, vamos calcular $ c’(1) $, substituindo $ x = 1 $ na expressão:
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então a primeira parte da derivada vai desaparecer:
c'(1)
E a segunda parte:
x = 1

Resposta

A derivada da função $ c_{c}(x) $ no ponto $ x = 1 $ é igual a 7.

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