Das equações abaixo, assinale as que podem ser equações de planos.
a) 5 x+2 y+3 z-5=0

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale quais das equações dadas podem ser equações de planos. A equação que preciso analisar é:
5x+2y+3z-5=0.
As informações relevantes são os coeficientes junto às variáveis: 5 (de x), 2 (de y), 3 (de z) e o termo constante -5.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a forma geral de uma equação de plano e o que cada símbolo significa. Uma equação de plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrita como
ax+by+cz+d=0,
onde a, b, c e d são números reais. Aqui:
  • x, y, z representam as coordenadas de um ponto qualquer (x,y,z) no espaço;
  • a, b, c são as componentes de um vetor normal ao plano, isto é, um vetor perpendicular ao plano;
  • d é um escalar que ajusta a posição do plano (relacionado a um ponto que o plano contém).
Importante: para que a expressão represente de fato um plano, o vetor normal (a,b,c) não pode ser o vetor nulo (0,0,0). Se (a,b,c)=(0,0,0) a equação vira d=0 (ou d\neq0), que não descreve um plano no sentido usual.

Passo 3

Identifico os coeficientes da equação dada comparando com a forma geral:
a=5,\quad b=2,\quad c=3,\quad d=-5.
Logo o vetor normal associado é
\mathbf{n}=(5,2,3).

Passo 4

Verifico a condição necessária: o vetor normal não pode ser nulo. Aqui \mathbf{n}=(5,2,3) claramente não é (0,0,0) porque pelo menos uma componente (na verdade três) é diferente de zero. Portanto a equação tem a forma correta para ser a equação de um plano.

Passo 5

Para intuir geometricamente, posso encontrar os interceptos com os eixos coordenados (isto ajuda a visualizar que se trata de um plano que corta os três eixos):
  • Intercepto em x (colocando y=0 e z=0):
5x-5=0 \implies x=1,
então o ponto (1,0,0) está no plano.
  • Intercepto em y (colocando x=0 e z=0):
2y-5=0 \implies y=\tfrac{5}{2},
então o ponto (0,\tfrac{5}{2},0) está no plano.
  • Intercepto em z (colocando x=0 e y=0):
3z-5=0 \implies z=\tfrac{5}{3},
então o ponto (0,0,\tfrac{5}{3}) está no plano.
Esses três pontos não são colineares (por exemplo, os vetores entre eles (-1,\tfrac{5}{2},0) e (-1,0,\tfrac{5}{3}) não são múltiplos um do outro), portanto definem um plano único — consistente com a equação dada.

Passo 6

Conclusão técnica: a equação está exatamente na forma ax+by+cz+d=0 com (a,b,c)\neq(0,0,0), logo representa um plano em \mathbb{R}^3. Pode usá-la na prova reconhecendo o vetor normal (5,2,3) ou os interceptos calculados, conforme for mais conveniente.

Resposta

a) Sim

Exercícios relacionados