Das equações abaixo, assinale as que podem ser equações de planos.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale quais das equações dadas podem ser equações de planos. A equação que preciso analisar é:
As informações relevantes são os coeficientes junto às variáveis:
(de
),
(de
),
(de
) e o termo constante
.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a forma geral de uma equação de plano e o que cada símbolo significa. Uma equação de plano em
pode ser escrita como
onde
,
,
e
são números reais. Aqui:
-
, , representam as coordenadas de um ponto qualquer no espaço; -
, , são as componentes de um vetor normal ao plano, isto é, um vetor perpendicular ao plano; -
é um escalar que ajusta a posição do plano (relacionado a um ponto que o plano contém).
Importante: para que a expressão represente de fato um plano, o vetor normal
não pode ser o vetor nulo
. Se
a equação vira
(ou
), que não descreve um plano no sentido usual.
Passo 3
Identifico os coeficientes da equação dada comparando com a forma geral:
Logo o vetor normal associado é
Passo 4
Verifico a condição necessária: o vetor normal não pode ser nulo. Aqui
claramente não é
porque pelo menos uma componente (na verdade três) é diferente de zero. Portanto a equação tem a forma correta para ser a equação de um plano.
Passo 5
Para intuir geometricamente, posso encontrar os interceptos com os eixos coordenados (isto ajuda a visualizar que se trata de um plano que corta os três eixos):
- Intercepto em
(colocando e ):
então o ponto
está no plano.
- Intercepto em
(colocando e ):
então o ponto
está no plano.
- Intercepto em
(colocando e ):
então o ponto
está no plano.
Esses três pontos não são colineares (por exemplo, os vetores entre eles
e
não são múltiplos um do outro), portanto definem um plano único — consistente com a equação dada.
Passo 6
Conclusão técnica: a equação está exatamente na forma
com
, logo representa um plano em
. Pode usá-la na prova reconhecendo o vetor normal
ou os interceptos calculados, conforme for mais conveniente.
Resposta
a) Sim