Precisamos identificar qual das equações listadas tem exatamente esse conjunto como solução. As equações possíveis envolvem ou x_{1}+3x_{2}= constante ou x_{3}+3x_{4}= constante, com constantes dadas nas alternativas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O vetor ponto (o “ponto de base”) é p=\left[\begin{smallmatrix}0\\\ 1\\\ -3\\\ 3\end{smallmatrix}\right].
A solução é o conjunto de todos os vetores da forma p+s v_1+t v_2+u v_3 com s,t,u\in\mathbb{R}.
Passo 2
Explico o método que vou usar (passo a passo, bem didático):
Uma afim p+\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} é o conjunto de todos os vetores
x = p + s v_1 + t v_2 + u v_3,\qquad s,t,u\in\mathbb{R}.
Isso significa que cada coordenada de x pode ser escrita em função dos parâmetros s,t,u.
Se uma equação linear do tipo a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + a_4 x_4 = c for verdadeira para todo x do conjunto, então ao substituir as expressões paramétricas para x_i o lado esquerdo deve reduzir-se a uma constante independente de s,t,u.
Vou calcular as coordenadas x_1,x_2,x_3,x_4 em termos de s,t,u e testar as combinações x_1+3x_2 e x_3+3x_4 que aparecem nas alternativas.
Testo a expressão x_1+3x_2 que aparece em várias alternativas.
Calculo:
x_1+3x_2 = (-3s) + 3(1+s) = -3s + 3 + 3s = 3.
Explicação didática: ao somar x_1 com 3x_2 os termos que dependem do parâmetro s cancelam exatamente (-3s+3s=0), sobrando apenas a constante 3. Como não aparece t nem u, a soma é independente de todos os parâmetros. Logo, para todo vetor x do conjunto vale
x_1+3x_2=3.
Isto mostra que a equação linear que descreve a afim é x_1+3x_2=3.
Passo 5
Para ter certeza, testo também x_3+3x_4 para ver que não é constante (assim descartamos as alternativas com essa expressão).
Calculo:
x_3+3x_4 = (-3+t) + 3(3+3u) = -3 + t + 9 + 9u = 6 + t + 9u.
Aqui aparecem os parâmetros t e u, que são livres e independentes, então x_3+3x_4 pode assumir muitos valores diferentes conforme t,u. Portanto não é igual a uma constante fixa como nas alternativas (6,7,5 etc.) para todos os vetores do conjunto. Assim todas as alternativas do tipo x_3+3x_4=\text{constante} estão erradas.
Passo 6
Concluo comparando com as opções dadas:
Encontramos que para todo vetor do conjunto vale x_1+3x_2=3. Isso corresponde exatamente à alternativa (B).
As alternativas (A),(C),(E) com x_3+3x_4= constante são falsas porque x_3+3x_4=6+t+9u não é constante.
As alternativas (D),(F) com x_1+3x_2= outras constantes são falsas porque x_1+3x_2 é sempre 3, não 5 nem 4.