Q2: Qual das equações abaixo tem como conjunto-solução:
\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ 3 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\} .
(A) x_{3}+3 x_{4}=6
(B) x_{1}+3 x_{2}=3
(C) x_{3}+3 x_{4}=7
(D) x_{1}+3 x_{2}=5
(E) x_{3}+3 x_{4}=5
(F) x_{1}+3 x_{2}=4

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O conjunto-solução é a parte afim
\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ 3 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\}.
  • Precisamos identificar qual das equações listadas tem exatamente esse conjunto como solução. As equações possíveis envolvem ou x_{1}+3x_{2}= constante ou x_{3}+3x_{4}= constante, com constantes dadas nas alternativas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O vetor ponto (o “ponto de base”) é p=\left[\begin{smallmatrix}0\\\ 1\\\ -3\\\ 3\end{smallmatrix}\right].
  • Os vetores diretores são v_1=\left[\begin{smallmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{smallmatrix}\right],\quad v_2=\left[\begin{smallmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{smallmatrix}\right],\quad v_3=\left[\begin{smallmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 3\end{smallmatrix}\right].
  • A solução é o conjunto de todos os vetores da forma p+s v_1+t v_2+u v_3 com s,t,u\in\mathbb{R}.

Passo 2

Explico o método que vou usar (passo a passo, bem didático):
  • Uma afim p+\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} é o conjunto de todos os vetores
    x = p + s v_1 + t v_2 + u v_3,\qquad s,t,u\in\mathbb{R}.
    Isso significa que cada coordenada de x pode ser escrita em função dos parâmetros s,t,u.
  • Se uma equação linear do tipo a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + a_4 x_4 = c for verdadeira para todo x do conjunto, então ao substituir as expressões paramétricas para x_i o lado esquerdo deve reduzir-se a uma constante independente de s,t,u.
  • Vou calcular as coordenadas x_1,x_2,x_3,x_4 em termos de s,t,u e testar as combinações x_1+3x_2 e x_3+3x_4 que aparecem nas alternativas.

Passo 3

Parametrização explícita. Escrevo x=p+s v_1+t v_2+u v_3. Calculando coordenada a coordenada:
  • Para x_1:
    x_1 = 0 + s\cdot(-3) + t\cdot 0 + u\cdot 0 = -3s.
  • Para x_2:
    x_2 = 1 + s\cdot 1 + t\cdot 0 + u\cdot 0 = 1 + s.
  • Para x_3:
    x_3 = -3 + s\cdot 0 + t\cdot 1 + u\cdot 0 = -3 + t.
  • Para x_4:
    x_4 = 3 + s\cdot 0 + t\cdot 0 + u\cdot 3 = 3 + 3u.
Portanto qualquer vetor do conjunto tem coordenadas
x_1=-3s,\quad x_2=1+s,\quad x_3=-3+t,\quad x_4=3+3u,
com s,t,u\in\mathbb{R}.

Passo 4

Testo a expressão x_1+3x_2 que aparece em várias alternativas.
Calculo:
x_1+3x_2 = (-3s) + 3(1+s) = -3s + 3 + 3s = 3.
Explicação didática: ao somar x_1 com 3x_2 os termos que dependem do parâmetro s cancelam exatamente ( -3s+3s=0), sobrando apenas a constante 3. Como não aparece t nem u, a soma é independente de todos os parâmetros. Logo, para todo vetor x do conjunto vale
x_1+3x_2=3.
Isto mostra que a equação linear que descreve a afim é x_1+3x_2=3.

Passo 5

Para ter certeza, testo também x_3+3x_4 para ver que não é constante (assim descartamos as alternativas com essa expressão).
Calculo:
x_3+3x_4 = (-3+t) + 3(3+3u) = -3 + t + 9 + 9u = 6 + t + 9u.
Aqui aparecem os parâmetros t e u, que são livres e independentes, então x_3+3x_4 pode assumir muitos valores diferentes conforme t,u. Portanto não é igual a uma constante fixa como nas alternativas (6,7,5 etc.) para todos os vetores do conjunto. Assim todas as alternativas do tipo x_3+3x_4=\text{constante} estão erradas.

Passo 6

Concluo comparando com as opções dadas:
  • Encontramos que para todo vetor do conjunto vale x_1+3x_2=3. Isso corresponde exatamente à alternativa (B).
  • As alternativas (A),(C),(E) com x_3+3x_4= constante são falsas porque x_3+3x_4=6+t+9u não é constante.
  • As alternativas (D),(F) com x_1+3x_2= outras constantes são falsas porque x_1+3x_2 é sempre 3, não 5 nem 4.

Resposta

(B)

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