Q5: Considere os seguintes sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{ccc|c} a & b & c & 0 \\ d & e & f & 0 \\ g & h & i & 0 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{cc|c} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
A) Apenas II é verdadeira.
B) Todas são verdadeiras.
C) Todas são falsas.
D) Apenas I é verdadeira.
E) Não sei
I) Se S_{1} tem solução única, então S_{2} tem solução.
II) Se S_{2} tem solução, então S_{1} tem apenas a solução zero.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes aumentadas (peguei estes dados do enunciado):
  • S_{1} é a matriz aumentada do sistema homogêneo 3×3
S_{1}:\left[\begin{array}{ccc|c} a & b & c & 0 \\\ d & e & f & 0 \\\ g & h & i & 0 \end{array}\right].
  • S_{2} é a matriz aumentada do sistema com duas incógnitas e três equações (peguei estes dados do enunciado): as duas primeiras colunas são os coeficientes e a terceira coluna da matriz original é o vetor termo independente,
S_{2}:\left[\begin{array}{cc|c} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right].
O que o enunciado pede: decidir a veracidade das afirmações I e II e, com isso, escolher a alternativa correta entre:
  • A) Apenas II é verdadeira.
  • B) Todas são verdadeiras.
  • C) Todas são falsas.
  • D) Apenas I é verdadeira.
  • E) Não sei
As afirmações a analisar (literalmente, peguei do enunciado) são:
I) Se S_{1} tem solução única, então S_{2} tem solução.
II) Se S_{2} tem solução, então S_{1} tem apenas a solução zero.

Passo 2

Vamos entender os conceitos fundamentais que vamos usar (mini-aula tranquila, passo a passo).
  • Um sistema homogêneo escrito A x = 0 (onde A é matriz de coeficientes e 0 é o vetor nulo) sempre tem pelo menos a solução \,x=0 (solução trivial).
    O sistema homogêneo tem “solução única” exatamente quando a única solução é x=0.
  • Para uma matriz quadrada M de ordem 3 (no nosso caso a matriz formada por \begin{bmatrix}a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{bmatrix}), as afirmações equivalentes são úteis:
    M \text{ invertível} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(M)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{as colunas de }M\text{ são linearmente independentes} \quad\Longleftrightarrow\quad Mx=b \text{ tem solução única para todo }b.íãçãú
    Ou seja: se M é invertível, qualquer vetor b\in\mathbb{R}^3 é atingido por alguma combinação linear das colunas de M, mas cada b tem uma única solução x=M^{-1}b.
  • Para uma matriz retangular A de tamanho 3\times 2 (duas colunas), a equação A y = b tem solução se, e somente se, o vetor b pertence ao espaço gerado (span) das duas colunas de A. Em outras palavras:
    A y = b \text{ é compatível} \quad\Longleftrightarrow\quad b\in\operatorname{span}\{\text{coluna}_1(A),\text{coluna}_2(A)\}.éí

Passo 3

Interpretação específica dos nossos dados (ligando os pontos):
  • Denote por v_1, v_2 e v_3 as as três colunas da matriz 3×3 que aparece em S_{1}; isto é,
    v_1=\begin{pmatrix}a\d\g\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}b\e\h\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}c\f\i\end{pmatrix}.
    Então S_{1} é o sistema homogêneo [\,v_1\; v_2\; v_3\, ] \, x = 0.
  • A matriz de coeficientes de S_{2} é A=[\,v_1\; v_2\,] (a matriz 3\times2), e o vetor termo independente em S_{2} é b=v_3. Assim S_{2} é exatamente o sistema
    [\,v_1\; v_2\,]\,y = v_3.

Passo 4

Análise da afirmação I:
  • A hipótese " S_{1} tem solução única" significa, por definição do sistema homogêneo, que a única solução é x=0. Pelas equivalências da álgebra linear, isso implica que a matriz M=[\,v_1\; v_2\; v_3\,] é invertível e, portanto, as três colunas v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.
  • Se v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes, então v_3 NÃO pode ser escrito como combinação linear de v_1 e v_2. Em símbolos:
    \nexists\, (s,t)\in\mathbb{R}^2 \text{ tais que } s v_1 + t v_2 = v_3.
  • Mas a existência de solução para S_{2} é exatamente a existência de (s,t) com s v_1 + t v_2 = v_3. Logo, se S_{1} tem solução única (colunas independentes), então S_{2} NÃO tem solução.
  • Conclusão: a afirmação I (“Se S_{1} tem solução única, então S_{2} tem solução”) é falsa.
(Exemplo concreto e intuitivo: escolha M igual à identidade I_3. As colunas são e_1,e_2,e_3 e o sistema [e_1\\ e_2] (s,t)^\top = e_3 não tem solução, porque e_3 não é combinação de e_1,e_2.)

Passo 5

Análise da afirmação II:
  • A hipótese " S_{2} tem solução" diz que existe (s,t) tal que
    s v_1 + t v_2 = v_3,
    isto é, v_3 pertence ao \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
  • Essa relação mostra que as três colunas v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes (porque v_3 é combinação das outras duas). Portanto a matriz M=[\,v_1\\ v_2\\ v_3\,] tem posto menor que 3, em particular \det(M)=0.
  • Quando \det(M)=0, o sistema homogêneo M x = 0 (ou seja, S_{1}) tem infinitas soluções não-triviais — isto é, existe x\neq 0 tal que M x = 0. Portanto S_{1} NÃO tem apenas a solução zero.
  • Conclusão: a afirmação II (“Se S_{2} tem solução, então S_{1} tem apenas a solução zero”) é falsa — é exatamente o contrário: se S_{2} tem solução então S_{1} tem soluções não-triviais.

Passo 6

Síntese final (sem matemática extra): ambas as afirmações I e II são falsas. Então a alternativa correta é a que diz que “Todas são falsas”.

Resposta

(C) Todas são falsas.

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