Queremos a dimensão de H=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}, isto é, o número máximo de vetores linearmente independentes dentre esses.]
Passo 2
Observação útil (explicação didática): se todos os vetores têm quarta coordenada 0, eles pertencem ao subespaço \{(x_1,x_2,x_3,0)\}, que é isomorfo a \mathbb{R}^3. Portanto podemos ignorar a quarta coordenada e trabalhar com as primeiras três coordenadas. Isso simplifica os cálculos: basta analisar a independência linear dos vetores projetados em \mathbb{R}^3.
Passo 3
Escrevendo apenas as três primeiras coordenadas (vetores em \mathbb{R}^3):
Resolvo: da primeira a=1-b\]. Substituindo na segunda:
\[1-b+5b=3 \implies 1+4b=3 \implies 4b=2 \implies b=\tfrac{1}{2}.\]
Então \(a=1-b=\tfrac{1}{2}. Conferindo a terceira: a+3b=\tfrac{1}{2}+3\cdot\tfrac{1}{2}=2, ok. Assim
Logo a dimensão de H é no máximo 2. Resta verificar se \tilde v_1 e \tilde v_3 são linearmente independentes (se sim, a dimensão é exatamente 2).
Passo 8
Verificar independência de \tilde v_1\) e \(\tilde v_3\). Suponha \(\alpha\tilde v_1+\beta\tilde v_3=0\). Escrevendo coordenadas:
\[\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha+5\beta=0,\\[4pt] \alpha+3\beta=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtemos 4\beta=0\], logo \(\beta=0. Então \alpha=0. Assim a única solução é trivial, o que significa que \tilde v_1 e \tilde v_3 são linearmente independentes.]
Passo 9
Como \tilde v_1 e \tilde v_3 são independentes e todo o conjunto original está contido no seu span, a dimensão de H é exatamente 2.