Q1: Qual é a dimensão do subsespaço H de \mathbb{R}^{4} definido por H=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 7 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\\\ 0\end{array}\right]\right\} ?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a dimensão do subespaço H\subset\mathbb{R}^{4} gerado (span) por cinco vetores:
\begin{array}{l} v_1=\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix},\\ v_2=\begin{bmatrix}3\\\ 7\\\ 5\\\ 0\end{bmatrix},\\ v_3=\begin{bmatrix}1\\\ 5\\\ 3\\\ 0\end{bmatrix},\\[6pt] v_4=\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ 2\\\ 0\end{bmatrix},\\ v_5=\begin{bmatrix}4\\\ 4\\\ 4\\\ 0\end{bmatrix}. \end{array}
Informações relevantes fornecidas:
  • São cinco vetores em \mathbb{R}^{4}.
  • A quarta coordenada de todos os vetores é 0.
  • Queremos a dimensão de H=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}, isto é, o número máximo de vetores linearmente independentes dentre esses.]

Passo 2

Observação útil (explicação didática): se todos os vetores têm quarta coordenada 0, eles pertencem ao subespaço \{(x_1,x_2,x_3,0)\}, que é isomorfo a \mathbb{R}^3. Portanto podemos ignorar a quarta coordenada e trabalhar com as primeiras três coordenadas. Isso simplifica os cálculos: basta analisar a independência linear dos vetores projetados em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Escrevendo apenas as três primeiras coordenadas (vetores em \mathbb{R}^3):
\tilde v_1=\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix},\\ \tilde v_2=\begin{bmatrix}3\\\ 7\\\ 5\end{bmatrix},\\ \tilde v_3=\begin{bmatrix}1\\\ 5\\\ 3\end{bmatrix},\\ \tilde v_4=\begin{bmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{bmatrix},\\ \tilde v_5=\begin{bmatrix}4\\\ 4\\\ 4\end{bmatrix}.

Passo 4

Procuro dependências lineares simples entre esses vetores (mostrar passo a passo como achar).
Calculo \tilde v_2-\tilde v_3:
\tilde v_2-\tilde v_3 =\begin{bmatrix}3\\\ 7\\\ 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\\ 5\\\ 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{bmatrix} =2\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix}=2\tilde v_1.
Logo
\tilde v_2=\tilde v_3+2\tilde v_1,
ou seja, \tilde v_2 é combinação linear de \tilde v_1 e \tilde v_3.

Passo 5

Observar \tilde v_5:
\tilde v_5=\begin{bmatrix}4\\\ 4\\\ 4\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix}=4\tilde v_1,
portanto \tilde v_5 é múltiplo de \tilde v_1 (dependente).

Passo 6

Verificar se \tilde v_4\) está no span de \(\tilde v_1\) e \(\tilde v_3\). Procuro \(a,b\) tais que \[a\tilde v_1+b\tilde v_3=\tilde v_4.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a+b=1,\\[4pt] a+5b=3,\\[4pt] a+3b=2. \end{cases}
Resolvo: da primeira a=1-b\]. Substituindo na segunda: \[1-b+5b=3 \implies 1+4b=3 \implies 4b=2 \implies b=\tfrac{1}{2}.\] Então \(a=1-b=\tfrac{1}{2}. Conferindo a terceira: a+3b=\tfrac{1}{2}+3\cdot\tfrac{1}{2}=2, ok. Assim
\tilde v_4=\tfrac{1}{2}\tilde v_1+\tfrac{1}{2}\tilde v_3,
portanto \tilde v_4 também está no span \{\tilde v_1,\tilde v_3\}.]

Passo 7

Conclusão parcial: \tilde v_2,\tilde v_4,\tilde v_5 são todas combinações lineares de \tilde v_1 e \tilde v_3. Portanto
\operatorname{span}\{\tilde v_1,\tilde v_2,\tilde v_3,\tilde v_4,\tilde v_5\} =\operatorname{span}\{\tilde v_1,\tilde v_3\}.
Logo a dimensão de H é no máximo 2. Resta verificar se \tilde v_1 e \tilde v_3 são linearmente independentes (se sim, a dimensão é exatamente 2).

Passo 8

Verificar independência de \tilde v_1\) e \(\tilde v_3\). Suponha \(\alpha\tilde v_1+\beta\tilde v_3=0\). Escrevendo coordenadas: \[\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha+5\beta=0,\\[4pt] \alpha+3\beta=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtemos 4\beta=0\], logo \(\beta=0. Então \alpha=0. Assim a única solução é trivial, o que significa que \tilde v_1 e \tilde v_3 são linearmente independentes.]

Passo 9

Como \tilde v_1 e \tilde v_3 são independentes e todo o conjunto original está contido no seu span, a dimensão de H é exatamente 2.

Resposta

(C) 2

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