Usando a
formula do Moivre, calcular:
Passo 1
O problema pede para calcular
.
Informações dadas: a expressão envolve o número complexo (onde
é a unidade imaginária) elevada à potência
. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa potência.
Informações dadas: a expressão envolve o número complexo
Passo 2
Vamos transformar o número complexo em sua forma trigonométrica (ou polar). Primeiro precisamos do módulo
e do argumento
de
. Para um número complexo
temos
e o argumento
é o ângulo tal que
corresponde a
. No nosso caso
e
.
Passo 3
Calculemos o módulo:
Agora o argumento. Como
e
, o ponto está no segundo quadrante, e o ângulo padrão é
Portanto podemos escrever
(Faça a checagem rápida:
,
; multiplicando por
obtemos
e
, que retornam
.)
Passo 4
Apresento a 1ª fórmula de Moivre (aquela que o enunciado mencionou): para qualquer ângulo
e inteiro
,
Se o número complexo tem módulo
, então
Isto nos permite elevar potências trabalhando separadamente com o módulo (que fica
) e com o ângulo (que fica
).
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
e
:
Calcule primeiro :
Calcule primeiro
Passo 6
Calcule o ângulo multiplicado:
Reduzimos esse ângulo usando o período
. Como
, temos
portanto
é equivalente a
no círculo trigonométrico. Assim
Passo 7
Usando tudo isso na fórmula de Moivre: