Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
\mathrm{z}=(\mathrm{i}-1)^{10}

Passo 1

O problema pede para calcular \mathrm{z}=(\mathrm{i}-1)^{10}.
Informações dadas: a expressão envolve o número complexo \mathrm{i}-1 (onde \mathrm{i} é a unidade imaginária) elevada à potência 10. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa potência.

Passo 2

Vamos transformar o número complexo em sua forma trigonométrica (ou polar). Primeiro precisamos do módulo r e do argumento \theta de \mathrm{i}-1. Para um número complexo x+\mathrm{i}y temos
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e o argumento \theta é o ângulo tal que (x,y) corresponde a (r\cos\theta,r\sin\theta). No nosso caso x=-1 e y=1.

Passo 3

Calculemos o módulo:
r=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Agora o argumento. Como x=-1 e y=1, o ponto está no segundo quadrante, e o ângulo padrão é
\theta=\frac{3\pi}{4}.
Portanto podemos escrever
\mathrm{i}-1 = \sqrt{2}\bigg(\cos\frac{3\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{3\pi}{4}\bigg).
(Faça a checagem rápida: \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}; multiplicando por \sqrt{2} obtemos -1 e 1, que retornam -1+\mathrm{i}.)

Passo 4

Apresento a 1ª fórmula de Moivre (aquela que o enunciado mencionou): para qualquer ângulo \theta e inteiro n,
\big(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\big)^{n}=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta).
Se o número complexo tem módulo r, então
\big(r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\big)^{n}=r^{n}\big(\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\big).
Isto nos permite elevar potências trabalhando separadamente com o módulo (que fica r^{n}) e com o ângulo (que fica n\theta).

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso com r=\sqrt{2}, \theta=\frac{3\pi}{4} e n=10:
Calcule primeiro r^{10}:
r^{10}=(\sqrt{2})^{10}=\big(2^{1/2}\big)^{10}=2^{5}=32.

Passo 6

Calcule o ângulo multiplicado:
10\theta = 10\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{30\pi}{4}=\frac{15\pi}{2}.
Reduzimos esse ângulo usando o período 2\pi. Como 2\pi=\frac{4\pi}{2}, temos
\frac{15\pi}{2}=3\cdot\Big(\frac{4\pi}{2}\Big)+\frac{3\pi}{2}=3\cdot(2\pi)+\frac{3\pi}{2},
portanto \frac{15\pi}{2} é equivalente a \frac{3\pi}{2} no círculo trigonométrico. Assim
\cos\!\left(\frac{15\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,
\sin\!\left(\frac{15\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1.

Passo 7

Usando tudo isso na fórmula de Moivre:
(\mathrm{i}-1)^{10}=r^{10}\big(\cos(10\theta)+\mathrm{i}\sin(10\theta)\big)=32\big(0+\mathrm{i}\cdot(-1)\big)=32\cdot(-\mathrm{i})=-32\mathrm{i}.

Resposta

-32\mathrm{i}

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