Nas equaçōes dadas a seguir, onde e é a base dos logaritmos neperianos, determinar a equagão dimensional, no SI, das grandezas a, b, c ed
(a) Equaçáo da velocidade v no instante t, de uma esfera de massa m, descendo em um fluido viscoso.
v=a(1-e^-b tm)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação que descreve a velocidade $ v $ de uma esfera de massa $ m $ descendo em um fluido viscoso ao longo do tempo $ t $. A gente precisa descobrir as equações dimensionais, no Sistema Internacional (SI), das grandezas $ a $ e $ b $ que aparecem nessa fórmula. Para isso, vamos usar a análise dimensional, que ajuda a verificar a consistência das equações físicas através das unidades básicas como massa, comprimento e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões conhecidas na equação. Sabemos que a velocidade $ v $ tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja:
v
Aqui, $ L $ representa comprimento e $ T $ representa tempo.

Passo 3

Agora, olhemos para a expressão dentro do parênteses:
1 - e^-b tm
O termo $ e^{-\frac{b t}{m}} $ é uma exponencial, e o expoente em uma função exponencial deve ser adimensional (sem dimensão). Portanto, a fração $ \frac{b t}{m} $ deve ser adimensional:
e^-b tm
Onde $ [M] $ representa a dimensão de massa.

Passo 4

Resolvendo a equação acima para encontrar a dimensão de $ b $:
b
Isso significa que $ b $ tem dimensão de massa por tempo.

Passo 5

Agora, voltando à equação original:
v = a(1 - e^-b tm)
Aqui, o termo $ \left(1 - e^{-\frac{b t}{m}}\right) $ é adimensional, como vimos. Portanto, a dimensão de $ a $ deve ser a mesma da velocidade $ v $ para que a equação faça sentido dimensionalmente:
(1 - e^-b tm)
Então, $ a $ tem dimensão de comprimento por tempo.

Resposta

As equações dimensionais, no SI, das grandezas são:
[a] = LT^-1 (metros por segundo, m/s)
[b] = MT^-1 (quilogramas por segundo, kg/s)

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