Nas equaçōes dadas a seguir, onde e é a base dos logaritmos neperianos, determinar a equagão dimensional, no SI, das grandezas
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(a) Equaçáo da velocidade
no instante
, de uma esfera de massa
, descendo em um fluido viscoso.
(a) Equaçáo da velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação que descreve a velocidade $ v $ de uma esfera de massa $ m $ descendo em um fluido viscoso ao longo do tempo $ t $. A gente precisa descobrir as equações dimensionais, no Sistema Internacional (SI), das grandezas $ a $ e $ b $ que aparecem nessa fórmula. Para isso, vamos usar a análise dimensional, que ajuda a verificar a consistência das equações físicas através das unidades básicas como massa, comprimento e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões conhecidas na equação. Sabemos que a velocidade $ v $ tem dimensão de comprimento por tempo, ou seja:
Aqui, $ L $ representa comprimento e $ T $ representa tempo.
Passo 3
Agora, olhemos para a expressão dentro do parênteses:
O termo $ e^{-\frac{b t}{m}} $ é uma exponencial, e o expoente em uma função exponencial deve ser adimensional (sem dimensão). Portanto, a fração $ \frac{b t}{m} $ deve ser adimensional:
Onde $ [M] $ representa a dimensão de massa.
Passo 4
Resolvendo a equação acima para encontrar a dimensão de $ b $:
Isso significa que $ b $ tem dimensão de massa por tempo.
Passo 5
Agora, voltando à equação original:
Aqui, o termo $ \left(1 - e^{-\frac{b t}{m}}\right) $ é adimensional, como vimos. Portanto, a dimensão de $ a $ deve ser a mesma da velocidade $ v $ para que a equação faça sentido dimensionalmente:
Então, $ a $ tem dimensão de comprimento por tempo.
Resposta
As equações dimensionais, no SI, das grandezas são: