Mostre que (A times B) times(C times D)=(A cdot B times D) C-(A cdot B times C) D.

Passo 1

Então, o exercício pede pra mostrar a identidade vetorial
[
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D})

(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D})),\mathbf{C}

(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})),\mathbf{D}.
]
Isso cai em “produto vetorial” e “produto escalar” em geometria vetorial. Para resolver, a gente vai usar a famosa fórmula do tipo BAC–CAB (produto vetorial de um vetor por um produto vetorial) e a definição do produto misto (ou triplo escalar).

Passo 2

Primeiro, relembra a identidade BAC–CAB, que vale para quaisquer vetores Xtimes(YtimesZ) =Y,(XcdotZ) -Z,(XcdotY) :
Ela diz como “abrir” um produto vetorial duplo. Aqui vamos identificar , e .

Passo 3

Aplicando diretamente:
(AtimesB)times(CtimesD) =C;l[(AtimesB)cdotDr] -D;l[(AtimesB)cdotCr]
Repare que cada coeficiente escalar é um produto misto ou .

Passo 4

Agora, lembra do produto misto (ou triplo escalar):
(AtimesB)cdotC ;=;Acdot(BtimesC),
que é invariante por permutação cíclica. Logo:
(AtimesB)cdotD =Acdot(BtimesD), (AtimesB)cdotC =Acdot(BtimesC)

Passo 5

Substituindo esses resultados no que obtivemos no passo anterior, a gente chega a
[
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D})

\mathbf{C},\bigl[\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D})\bigr]

\mathbf{D},\bigl[\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\bigr].
]

Resposta

[
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D})

(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D})),\mathbf{C}

(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})),\mathbf{D}.
]

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