Mostre que
.
Passo 1
Então, o exercício pede pra mostrar a identidade vetorial
[
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D})
(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D})),\mathbf{C}
(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})),\mathbf{D}.
]
]
Isso cai em “produto vetorial” e “produto escalar” em geometria vetorial. Para resolver, a gente vai usar a famosa fórmula do tipo BAC–CAB (produto vetorial de um vetor por um produto vetorial) e a definição do produto misto (ou triplo escalar).
Passo 2
Primeiro, relembra a identidade BAC–CAB, que vale para quaisquer vetores
:
Ela diz como “abrir” um produto vetorial duplo. Aqui vamos identificar
,
e
.
Passo 3
Aplicando diretamente:
Repare que cada coeficiente escalar é um produto misto
ou
.
Passo 4
Agora, lembra do produto misto (ou triplo escalar):
que é invariante por permutação cíclica. Logo:
Passo 5
Substituindo esses resultados no que obtivemos no passo anterior, a gente chega a
[
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D})
\mathbf{C},\bigl[\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D})\bigr]
\mathbf{D},\bigl[\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\bigr].
]
]
Resposta
[
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times(\mathbf{C}\times\mathbf{D})
(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{D})),\mathbf{C}
(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})),\mathbf{D}.
]
]