Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente olhar a equação
e decidir se ela representa um sistema linear ou não.
Conteúdo: teoria de sistemas lineares, usando os “princípios da aditividade” e da “homogeneidade” (que juntos formam o superposição).
O que a gente vai precisar:
- Definir o operador que leva a entrada
- Testar se esse operador satisfaz aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Vamos chamar de
o operador que cai em:
Pra sistema linear precisaríamos ter, pra quaisquer entradas
1) Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Teste de aditividade.
Suponha que e
. Então:
Suponha que
- Para
: . - Para
: .
Agora apliqueem . A solução será um tal que
O lado direito disso é
Se fosse aditivo, a gente esperaria
Repara que um dá “+2” e o outro dá “+2”, total “+4”. Mas em
Então
falhou a aditividade.
Passo 4
Teste de homogeneidade.
Pegue uma entrada com saída
tal que
Pegue uma entrada
Agora veja o que acontece com
Se fosse homogêneo, deveríamos ter
Claramente
Resposta
O sistema não é linear, pois não satisfaz nem aditividade nem homogeneidade por causa do termo constante “
” no lado direito.