Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
d^2 y(t)d t^2+5 d y(t)d t+2 y(t)=0.1 u(t)+2

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente olhar a equação
d^2y(t)dt^2 + 5,dy(t)dt + 2,y(t) ;=; 0.1,u(t) + 2
e decidir se ela representa um sistema linear ou não.
Conteúdo: teoria de sistemas lineares, usando os “princípios da aditividade” e da “homogeneidade” (que juntos formam o superposição).
O que a gente vai precisar:
- Definir o operador que leva a entrada à saída .
- Testar se esse operador satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Vamos chamar de Tu(t) = y(t) sujeito a: y'' + 5y' + 2y = 0.1,u + 2 o operador que cai em:
Tu1 + u2 ;=; Tu1 + Tu2
Pra sistema linear precisaríamos ter, pra quaisquer entradas Ta,u ;=; a,Tu, forall ainR e :
1) Aditividade:
  1. Homogeneidade:

Passo 3

Teste de aditividade.
Suponha que y12'' + 5y12' + 2y12 = 0.1,(u1+u2) + 2 e Tu1+u2neq Tu1 + Tu2,. Então:
  • Para : .
  • Para : .
    Agora aplique em . A solução será um tal que

O lado direito disso é .
Se fosse aditivo, a gente esperaria
.
Repara que um dá “+2” e o outro dá “+2”, total “+4”. Mas em só tem um “+2”.
Então
falhou a aditividade.

Passo 4

Teste de homogeneidade.
Pegue uma entrada y'' + 5y' + 2y = 0.1,u + 2 com saída ya'' + 5ya' + 2ya = 0.1,(a,u) + 2 = 0.1a,u + 2 tal que
Ta,u = a,Tu ;Longrightarrow; 0.1a,u + 2 = a,(0.1u + 2) = 0.1a,u + 2a
Agora veja o que acontece com . Chamemos a saída de :
Se fosse homogêneo, deveríamos ter

Claramente (a não ser que ). Falhou a homogeneidade.

Resposta

O sistema não é linear, pois não satisfaz nem aditividade nem homogeneidade por causa do termo constante “ ” no lado direito.

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