Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente olhar a equação
e decidir se ela é linear ou não. Isso cai em “Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem” e, pra provar linearidade, a gente vai usar dois itens básicos:
- Aditividade:
. - Homogeneidade (ou escala):
.
Aqui o “operador”é tudo que envolve na equação, ou seja
Passo 2
Testando a ADITIVIDADE
Suponha duas soluções quaisquer e
. A gente vai ver se
Suponha duas soluções quaisquer
Começa calculando
:
Agora agrupa termo a termo:
Pronto, aditividade confirmada.
Passo 3
Testando a HOMOGENEIDADE
Agora pega uma solução genérica e um escalar
. Vamos ver se
Agora pega uma solução genérica
Calcula
:
Então a homogeneidade também vale.
Resposta
A equação
é um exemplo de equação diferencial linear de 1ª ordem, pois o operador
; satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade.
é um exemplo de equação diferencial linear de 1ª ordem, pois o operador