Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
d y(t)d t+t y(t)=0.5 u(t)

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente olhar a equação
d y(t)d t + t,y(t) = 0.5,u(t)
e decidir se ela é linear ou não. Isso cai em “Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem” e, pra provar linearidade, a gente vai usar dois itens básicos:
  1. Aditividade: L[y](t) = dy(t)dt + t,y(t) .
  2. Homogeneidade (ou escala): .
    Aqui o “operador” é tudo que envolve na equação, ou seja

Passo 2

Testando a ADITIVIDADE
Suponha duas soluções quaisquer L[y1 + y2] ;=; L[y1] + L[y2] e L[y1 + y2] = d,(y1 + y2)dt + t,(y1 + y2) = dy1dt + dy2dt + t,y1 + t,y2 . A gente vai ver se
= l(dy1dt + t,y1r) + l(dy2dt + t,y2r) = L[y1] + L[y2]
Começa calculando :
Agora agrupa termo a termo:
Pronto, aditividade confirmada.

Passo 3

Testando a HOMOGENEIDADE
Agora pega uma solução genérica L[a,y] ;=; a,L[y] e um escalar L[a,y] = d,(a,y)dt + t,(a,y) = a,dydt + a,t,y = al(dydt + t,yr) = a,L[y] . Vamos ver se
Calcula :
Então a homogeneidade também vale.

Resposta

A equação

é um exemplo de equação diferencial linear de 1ª ordem, pois o operador
; satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade.

Exercícios relacionados