As equações diferenciais apresentadas a seguir descrevem o comportamento dinâmico de sistemas lineares cuja entrada é
e a saída é
. Determine a função de transferência de cada um deles sob as várias formas normais. Identifique os polos e os zeros, as constantes de ganho
e
e as constantes de tempo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear
e pede a função de transferência
e suas formas normais, identificando polos, zeros, ganho
, ganho em regime permanente
e constantes de tempo. Vamos usar a transformada de Laplace com condições iniciais nulas.
Passo 2
Aplicando Laplace em cada termo e anulando condições iniciais, temos
Logo a forma polinomial da função de transferência é
Passo 3
Para obter a forma canônica de polos e zeros fatorizamos numerador e denominador. Primeiro notamos que
e
Portanto a forma fatorizada é
Passo 4
Da forma fatorizada identificamos
– Zero: .
– Polos: e
.
O ganho estável (razão dos coeficientes líderes) é
– Zero:
– Polos:
O ganho estável (razão dos coeficientes líderes) é
O ganho em regime permanente (ganho estático) é
Passo 5
Para extrair constantes de tempo escrevemos o fator de segundo ordem em forma normalizada
Comparando com
obtemos
O polo real
fornece a constante de tempo
O decaimento do segundo-ordem tem constante de tempo de envelope
Resposta
Forma polinomial:
Forma de polos e zeros (fatorizada):
Forma normalizada em tempo:
com
Polos:
. Zero:
.
Ganho em regime permanente: .
Constantes de tempo: ,
.
Ganho em regime permanente:
Constantes de tempo: