As equações diferenciais apresentadas a seguir descrevem o comportamento dinâmico de sistemas lineares cuja entrada é u(t) e a saída é y(t). Determine a função de transferência de cada um deles sob as várias formas normais. Identifique os polos e os zeros, as constantes de ganho K e Kg e as constantes de tempo.
d^3 yd t^3+3 d^2 yd t^2+4 d yd t+2 y(t)=2 d ud t+u(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear
d^3ydt^3 ;+;3d^2ydt^2;+;4dydt;+;2,y(t) ;=; 2,dudt+u(t),
e pede a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s) e suas formas normais, identificando polos, zeros, ganho K, ganho em regime permanente Kg e constantes de tempo. Vamos usar a transformada de Laplace com condições iniciais nulas.

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo e anulando condições iniciais, temos
s^3Y(s)+3s^2Y(s)+4sY(s)+2Y(s) ;=; 2,s,U(s)+1cdot U(s)
Logo a forma polinomial da função de transferência é
G(s) =Y(s)U(s) =2s+1s^3+3s^2+4s+2

Passo 3

Para obter a forma canônica de polos e zeros fatorizamos numerador e denominador. Primeiro notamos que
s^3+3s^2+4s+2=(s+1)l(s^2+2s+2r),
e
2s+1=2l(s+tfrac12r)
Portanto a forma fatorizada é
G(s) =2,(s+tfrac12)(s+1),(s^2+2s+2)

Passo 4

Da forma fatorizada identificamos
– Zero: s=-tfrac12.
– Polos: s=-1 e s=-1pm i.
O ganho estável (razão dos coeficientes líderes) é
K=21=2
O ganho em regime permanente (ganho estático) é
Kg =limsto0G(s) =2cdot0+10+0+0+2 =12

Passo 5

Para extrair constantes de tempo escrevemos o fator de segundo ordem em forma normalizada
s^2+2s+2 =omegan^2l[l(tfracsomeganr)^2 +2zetal(tfracsomeganr)+1r]
Comparando com s^2+2s+2 obtemos
omegan=raiz2, 2zeta,omegan=2 ;Longrightarrow; zeta=1raiz2
O polo real -1 fornece a constante de tempo
T1=11=1
O decaimento do segundo-ordem tem constante de tempo de envelope
T2,3=1zeta,omegan =1(1/raiz2),raiz2=1

Resposta

Forma polinomial:
G(s)=2s+1s^3+3s^2+4s+2
Forma de polos e zeros (fatorizada):
G(s)=2,(s+tfrac12)(s+1),(s^2+2s+2)
Forma normalizada em tempo:
G(s) =K, 1+Tz,s(1+T1s)l[1+2zeta,(tfracsomegan)+(tfracsomegan)^2r],
com
K=2, Tz=tfrac12, T1=1, omegan=raiz2, zeta=tfrac1raiz2
Polos: -1,;-1pm i. Zero: -tfrac12.
Ganho em regime permanente: Kg=tfrac12.
Constantes de tempo: T1=1, T2,3=1.

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