As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação
(x+2 y-1) d x+3(x+2 y) d y=0,
podemos fazer x+2 y=v.
Neste caso, d x+2 d y=d v, ou seja, d x=d v-2 d y. Substituindo, obtemos a seguinte equação diferencial:
\begin{gathered} (v-1)(d v-2 d y)+3 v d y=0 \\\ (v-1) d v+(v+2) d y=0 \\\ \frac{v-1}{v+2} d v+d y=0 \end{gathered}
A solução desta última é:
v-3 \ln |v+2|+y+c=0 .
Lembrando que v=x+2 y, obtemos:
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
(b) (3 x-2 y+1) d x-(3 x-2 y+3) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(3x - 2y + 1)\,dx \;-\;(3x - 2y + 3)\,dy \;=\;0
usando uma mudança de coordenadas que deixe as expressões em dx e dy dependerem de uma única variável nova. Vamos usar o mesmo raciocínio do exemplo, escolhendo
v = 3x - 2y.

Passo 2

Calculamos a diferencial de v:
dv = 3\,dx \;-\; 2\,dy \quad\Longrightarrow\quad 3\,dx = dv + 2\,dy \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dv + 2\,dy}{3}.

Passo 3

Substituímos v e dx na equação original:
( v + 1 )\,dx \;-\;( v + 3 )\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad ( v + 1 )\frac{dv + 2\,dy}{3} \;-\;( v + 3 )\,dy = 0.
Multiplicando por 3 e agrupando termos em dv e dy:
(v+1)(dv + 2\,dy)\;-\;3(v+3)\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad (v+1)\,dv + \bigl[2(v+1)-3(v+3)\bigr]dy = 0
\bigl(v+1\bigr)\,dv + \bigl(-v-7\bigr)\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad (v+7)\,dy = (v+1)\,dv.

Passo 4

Separamos as variáveis e integramos:
dy = \frac{v+1}{v+7}\,dv \quad\Longrightarrow\quad \int dy = \int \Bigl(1 - \frac{6}{v+7}\Bigr)\,dv
y = v \;-\;6\ln\lvert v+7\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original v=3x-2y, temos
y = (3x - 2y) \;-\;6\ln\lvert 3x - 2y +7\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad y +2y = 3x -6\ln\lvert3x-2y+7\rvert + C
3y = 3x -6\ln\lvert3x-2y+7\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad y = x -2\ln\lvert3x-2y+7\rvert + C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A solução implícita geral é
x - y \;-\;2\ln\bigl\lvert 3x - 2y +7\bigr\rvert = C,
com C constante de integração.

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