As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação
(x+2 y-1) d x+3(x+2 y) d y=0,
podemos fazer x+2 y=v.
Neste caso, d x+2 d y=d v, ou seja, d x=d v-2 d y. Substituindo, obtemos a seguinte equação diferencial:
\begin{gathered}
(v-1)(d v-2 d y)+3 v d y=0 \\\ (v-1) d v+(v+2) d y=0 \\\ \frac{v-1}{v+2} d v+d y=0
\end{gathered}
A solução desta última é:
v-3 \ln |v+2|+y+c=0 .
Lembrando que v=x+2 y, obtemos:
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
(b) (3 x-2 y+1) d x-(3 x-2 y+3) d y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(3x - 2y + 1)\,dx \;-\;(3x - 2y + 3)\,dy \;=\;0
usando uma mudança de coordenadas que deixe as expressões em dx e dy dependerem de uma única variável nova. Vamos usar o mesmo raciocínio do exemplo, escolhendo
v = 3x - 2y.
Passo 2
Calculamos a diferencial de v:
dv = 3\,dx \;-\; 2\,dy \quad\Longrightarrow\quad 3\,dx = dv + 2\,dy \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dv + 2\,dy}{3}.
Passo 3
Substituímos v e dx na equação original:
( v + 1 )\,dx \;-\;( v + 3 )\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad ( v + 1 )\frac{dv + 2\,dy}{3} \;-\;( v + 3 )\,dy = 0.
Multiplicando por 3 e agrupando termos em dv e dy: