As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação
(x+2 y-1) d x+3(x+2 y) d y=0,
podemos fazer x+2 y=v.
Neste caso, d x+2 d y=d v, ou seja, d x=d v-2 d y. Substituindo, obtemos a seguinte equação diferencial:
\begin{gathered} (v-1)(d v-2 d y)+3 v d y=0 \\\ (v-1) d v+(v+2) d y=0 \\\ \frac{v-1}{v+2} d v+d y=0 \end{gathered}
A solução desta última é:
v-3 \ln |v+2|+y+c=0 .
Lembrando que v=x+2 y, obtemos:
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
(c) \cos (x+y) d x=x \operatorname{sen}(x+y) d x+x \operatorname{sen}(x+y) d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\cos(x+y)\,dx \;=\; x\sin(x+y)\,dx \;+\; x\sin(x+y)\,dy
usando uma mudança de coordenadas conveniente. O conteúdo é ODE de primeira ordem e vamos precisar identificar uma nova variável que simplifique a dependência em x+y.

Passo 2

Observamos que toda a equação envolve a combinação x+y. Definimos
t = x + y,
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dt = dx + dy \quad\Longrightarrow\quad dy = dt - dx.

Passo 3

Escrevemos a equação original como
\bigl(\cos t - x\sin t\bigr)\,dx \;-\; x\sin t\,dy = 0.
Substituindo dy = dt - dx obtemos
\bigl(\cos t - x\sin t\bigr)\,dx \;-\; x\sin t\,(dt - dx) = 0
\cos t\,dx - x\sin t\,dx - x\sin t\,dt + x\sin t\,dx = 0
\cos t\,dx - x\sin t\,dt = 0.

Passo 4

Rearranjando a equação resultante:
\cos t\,dx = x\sin t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = \tan t\,dt.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \int \tan t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert x\rvert = -\ln\lvert\cos t\rvert + C.
Isso implica
\ln\bigl(\lvert x\cos t\rvert\bigr) = C \quad\Longrightarrow\quad x\cos t = K,
em que K = \pm e^{C} é constante.

Passo 6

Voltando à variável original t = x+y, a solução implícita fica
\boxed{x\cos(x+y) = K.}

Resposta

x\cos(x+y)=K, com K constante.

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