Sejam as funções de transferência abaixo. Localize zeros e pólos no plano imaginário times real. Os sistemas são estáveis?
(s^2+3 s-10)(s^2+9)(s^2+6 s+25)(s^2-2 s+5)(s^2+7 s+10)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar os zeros e os polos da função de transferência
G(s) = (s^2 + 3s - 10),(s^2 + 9)(s^2 + 6s + 25),(s^2 - 2s + 5),(s^2 + 7s + 10)
e depois decidir se o sistema é estável. Isso é conteúdo de Análise de Sistemas no domínio de s = -b pm raizb^2 - 4ac2a , envolvendo fatoração de polinômios, raízes complexas e critério de estabilidade (parte real dos polos). Vamos precisar da fórmula quadrática
para achar raízes de cada termo quadrático.

Passo 2

Encontrando os zeros (raízes do numerador):
  1. s = -3 pm raiz492 = -3 pm 72 implies s = 2,; s = -5 . Use a fatoração simples ou a fórmula:
    • Discriminante: s^2 = -9 implies s = pm 3j .
    • Raízes:
    Então esse pedaço dá zeros em e .
  2. . Aqui é direto: Esses são dois zeros puramente imaginários e .

Passo 3

Agora os polos (raízes do denominador):
  1. s^2 + 7s + 10 = (s + 5)(s + 2) = 0 implies s = -5,; s = -2 .
    • .
    • .
  2. .
    • .
    • .
  3. . Aqui fatora fácil:

Passo 4

Localizando tudo no plano :
  • Zeros:
    (à direita no eixo real),
    (à esquerda no real),
    e (no eixo imaginário).
  • Polos:
    (parte real ),
    (parte real ),
    e (no real, ambos negativos).

Passo 5

Critério de estabilidade: um sistema causal e LTI é estável se todos os polos têm parte real negativa (ficam no semiplano esquerdo). Aqui vimos que dois polos são , que têm parte real .
Portanto o sistema não é estável.

Resposta

Zeros: .
Polos: .
O sistema é instável (há polos com ).

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