Sejam as funções de transferência abaixo. Localize zeros e pólos no plano imaginário
real. Os sistemas são estáveis?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar os zeros e os polos da função de transferência
e depois decidir se o sistema é estável. Isso é conteúdo de Análise de Sistemas no domínio de
, envolvendo fatoração de polinômios, raízes complexas e critério de estabilidade (parte real dos polos). Vamos precisar da fórmula quadrática
para achar raízes de cada termo quadrático.
Passo 2
Encontrando os zeros (raízes do numerador):
-
. Use a fatoração simples ou a fórmula: - Discriminante:
. - Raízes:
e . - Discriminante:
-
. Aqui é direto: Esses são dois zeros puramente imaginários e .
Passo 3
Agora os polos (raízes do denominador):
-
. -
. -
.
-
-
. -
. -
.
-
-
. Aqui fatora fácil:
Passo 4
Localizando tudo no plano
:
- Zeros:
•(à direita no eixo real),
•(à esquerda no real),
•e (no eixo imaginário). - Polos:
•(parte real ),
•(parte real ),
•e (no real, ambos negativos).
Passo 5
Critério de estabilidade: um sistema causal e LTI é estável se todos os polos têm parte real negativa (ficam no semiplano esquerdo). Aqui vimos que dois polos são
, que têm parte real
.
Portanto o sistema não é estável.
Portanto o sistema não é estável.
Resposta
Zeros:
.
Polos: .
O sistema é instável (há polos com ).
Polos:
O sistema é instável (há polos com