Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}-3 t y^{\prime}+4 y=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''-3t y'+4y=0,\qquad t>0
e pede para encontrar a solução geral y(t). Informações relevantes:
  • A equação é válida para t>0.
  • Quer-se a família geral de soluções (duas constantes arbitrárias, por ser uma EDO linear de segunda ordem).
  • O enunciado pede para usar a substituição introduzida no Problema 25 da Seção 3.3 (ou seja, a transformação que troca a variável t por x=\ln t).

Passo 2

Motivação da substituição e definição das novas variáveis (sem resolver ainda).
  • A substituição é útil porque transforma equações do tipo Euler-Cauchy (coeficientes polinomiais em t com potências que acompanham as derivadas) em equações com coeficientes constantes, que são mais fáceis de resolver.
  • Definir
x=\ln t\qquad\text{e}\qquad u(x)=y(t)=y(e^{x}).
Aqui x é a nova variável independente e u a nova função dependente. Como t>0, a função \ln t está bem definida.

Passo 3

Calcular y' em termos de u usando a regra da cadeia.
  • A derivada de u em relação a x é u'(x)=\dfrac{du}{dx}.
  • Como x=\ln t, tem-se \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{t}.
  • Pela regra da cadeia,
y'=\frac{dy}{dt}=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=u'(x)\cdot\frac{1}{t}.
Portanto
y'=\frac{1}{t}\,u'(x).

Passo 4

Calcular y'' em termos de u (derivar y' em relação a t).
  • Partimos de y'=\dfrac{1}{t}u'(x).
  • Diferenciando em relação a t:
y''=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}u'(x)\right).
  • Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia para u'(x):
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{1}{t^{2}},\qquad \frac{d}{dt}u'(x)=u''(x)\cdot\frac{dx}{dt}=u''(x)\cdot\frac{1}{t}.
  • Assim
y''=-\frac{1}{t^{2}}u'(x)+\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{t}u''(x)=\frac{u''(x)-u'(x)}{t^{2}}.

Passo 5

Substituir y' e y'' na equação original e simplificar.
  • A equação original é \,t^{2}y''-3t y'+4y=0.
  • Substituindo as expressões obtidas:
t^{2}\cdot\frac{u''-u'}{t^{2}}-3t\cdot\frac{u'}{t}+4u=0.
  • Simplificando termos semelhantes:
(u''-u')-3u'+4u=0.
  • Agrupando:
u''-4u'+4u=0.
Portanto a substituição transformou a equação em uma EDO de coeficientes constantes em x:
u''-4u'+4u=0.

Passo 6

Resolver a EDO com coeficientes constantes obtida.
  • Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, busca-se soluções do tipo u(x)=e^{r x}. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
r^{2}-4r+4=0.
  • Resolver a quadrática:
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=2\\ \text{(raiz dupla)}.
  • Para raiz dupla r=2 de multiplicidade 2, a solução geral é
u(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 7

Voltar à variável original t e escrever a solução geral y(t).
  • Lembrando que x=\ln t e u(x)=y(t), substitui-se x=\ln t em u(x):
y(t)=u(\ln t)=\big(C_{1}+C_{2}\ln t\big)e^{2\ln t}.
  • Usando e^{2\ln t}=(e^{\ln t})^{2}=t^{2}, obtemos a forma final simples
y(t)=t^{2}\big(C_{1}+C_{2}\ln t\big),\qquad t>0,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=t^{2}\big(C_{1}+C_{2}\ln t\big)

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