Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Informações relevantes:
- A equação é válida para
. - Quer-se a família geral de soluções (duas constantes arbitrárias, por ser uma EDO linear de segunda ordem).
- O enunciado pede para usar a substituição introduzida no Problema 25 da Seção 3.3 (ou seja, a transformação que troca a variável
por ).
Passo 2
Motivação da substituição e definição das novas variáveis (sem resolver ainda).
- A substituição é útil porque transforma equações do tipo Euler-Cauchy (coeficientes polinomiais em
com potências que acompanham as derivadas) em equações com coeficientes constantes, que são mais fáceis de resolver. - Definir
Aqui
é a nova variável independente e
a nova função dependente. Como
, a função
está bem definida.
Passo 3
Calcular
em termos de
usando a regra da cadeia.
- A derivada de
em relação a é . - Como
, tem-se . - Pela regra da cadeia,
Portanto
Passo 4
Calcular
em termos de
(derivar
em relação a
).
- Partimos de
. - Diferenciando em relação a
:
- Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia para
:
- Assim
Passo 5
Substituir
e
na equação original e simplificar.
- A equação original é
. - Substituindo as expressões obtidas:
- Simplificando termos semelhantes:
- Agrupando:
Portanto a substituição transformou a equação em uma EDO de coeficientes constantes em
:
Passo 6
Resolver a EDO com coeficientes constantes obtida.
- Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, busca-se soluções do tipo
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
- Resolver a quadrática:
- Para raiz dupla
de multiplicidade 2, a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Voltar à variável original
e escrever a solução geral
.
- Lembrando que
e , substitui-se em :
- Usando
, obtemos a forma final simples
com
constantes arbitrárias.