Sabendo-se que
pode-se deduzir que o valor de
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede que se escolha, entre as alternativas a)
, b)
, c)
, d)
, e)
, qual é o valor de
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- A expressão cujo limite é dado é
. - O limite quando
dessa expressão vale . - As alternativas apresentam possíveis relações entre
e .
Passo 2
Primeira observação importante (intuição que salva tempo na prova): se o numerador não tender a zero quando
, então o quociente tende para infinito (divisão de um número não nulo por algo que vai para zero). Logo, para o limite ser um número finito (aqui
) é necessário que o numerador tenda a zero quando
. Escrevendo isso:
Para que o numerador tenda a zero devemos ter
Como estamos lidando com números reais, a função cubo é injetora (monótona), portanto a igualdade de cubos implica
Passo 3
Agora substituímos
na expressão e avaliamos o limite. Primeiro expandimos o cubo (ou podemos usar noção de derivada; aqui faço a expansão para ficar bem algébrico):
Dividindo por
(assumindo
durante a simplificação) obtemos
Tomando o limite quando
,
Passo 4
Pelo enunciado esse limite vale
. Assim:
Mas a questão pede o valor de
em função de
(entre as alternativas). Como já deduzimos que
, concluímos que a alternativa correta é aquela que diz
igual a
.
Passo 5
Comentário final e encorajamento: portanto, independentemente do sinal de
(que é fixado por
para que o limite seja
), a relação entre
e
necessária é
. Boa! Esse tipo de raciocínio — verificar se o numerador deve anular para o limite ser finito e então usar expansão/derivada — aparece bastante em prova; memorizando esse passo salva tempo.
Resposta
a)