Sabendo-se que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(B+x)^{3}-A^{3}}{x}=12
pode-se deduzir que o valor de B é:
a) A
b) A+2
c) A+4
d) A+6
e) A-2

Passo 1

O enunciado dá a informação
\lim_{x \to 0} \frac{(B+x)^{3}-A^{3}}{x}=12
e pede que se escolha, entre as alternativas a) A, b) A+2, c) A+4, d) A+6, e) A-2, qual é o valor de B.
Informações relevantes listadas:
  • A expressão cujo limite é dado é \dfrac{(B+x)^3-A^3}{x}.
  • O limite quando x\to 0 dessa expressão vale 12.
  • As alternativas apresentam possíveis relações entre B e A.

Passo 2

Primeira observação importante (intuição que salva tempo na prova): se o numerador não tender a zero quando x\to 0, então o quociente tende para infinito (divisão de um número não nulo por algo que vai para zero). Logo, para o limite ser um número finito (aqui 12) é necessário que o numerador tenda a zero quando x\to 0. Escrevendo isso:
\lim_{x\to 0} \big((B+x)^3 - A^3\big) = (B+0)^3 - A^3 = B^3 - A^3
Para que o numerador tenda a zero devemos ter
B^3 - A^3 = 0 \quad\Rightarrow\quad B^3 = A^3.
Como estamos lidando com números reais, a função cubo é injetora (monótona), portanto a igualdade de cubos implica
B = A.

Passo 3

Agora substituímos B=A na expressão e avaliamos o limite. Primeiro expandimos o cubo (ou podemos usar noção de derivada; aqui faço a expansão para ficar bem algébrico):
(A+x)^3 - A^3 = \big(A^3 + 3A^2 x + 3A x^2 + x^3\big) - A^3 = 3A^2 x + 3A x^2 + x^3.
Dividindo por x (assumindo x\neq 0 durante a simplificação) obtemos
\frac{(A+x)^3 - A^3}{x} = 3A^2 + 3A x + x^2.
Tomando o limite quando x\to 0,
\lim_{x\to 0} \frac{(A+x)^3 - A^3}{x} = 3A^2.

Passo 4

Pelo enunciado esse limite vale 12. Assim:
3A^2 = 12 \quad\Rightarrow\quad A^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad A = 2 \\ \text{ou}\\ A = -2.
Mas a questão pede o valor de B em função de A (entre as alternativas). Como já deduzimos que B=A, concluímos que a alternativa correta é aquela que diz B igual a A.

Passo 5

Comentário final e encorajamento: portanto, independentemente do sinal de A (que é fixado por A=\pm 2 para que o limite seja 12), a relação entre B e A necessária é B=A. Boa! Esse tipo de raciocínio — verificar se o numerador deve anular para o limite ser finito e então usar expansão/derivada — aparece bastante em prova; memorizando esse passo salva tempo.

Resposta

a) A

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